Calcule a integral definida.
52. integral0^1 x^3raiz9+x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
integral0^1 x^3raiz9+x^2,dx
O conteúdo principal envolve fazer uma substituição que transforme o radical numa potência simples e, em seguida, aplicar a integração termo a termo antes de usar os limites.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 9 + x^2,
pois assim o radical vira u^1/2. Calculamos
du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2
Note que x^2 = u - 9, então x^3,dx = x^2,(x,dx) = (u-9),du2

Passo 3

Substituindo na integral e ajustando os limites: quando x=0, u=9; quando x=1, u=10. Logo
integral0^1 x^3raiz9+x^2,dx = integralu=9^u=10 (u-9),du2raizu = 12integral9^10l(u^1/2-9u^-1/2r),du

Passo 4

Integramos cada termo separadamente:
integral u^1/2,du = 23u^3/2, integral u^-1/2,du = 2u^1/2
Portanto
12integral9^10l(u^1/2-9u^-1/2r),du = 12l[23u^3/2-9cdot 2u^1/2r]9^10 = l[13u^3/2-9u^1/2r]9^10

Passo 5

Agora avaliamos em u=10 e em u=9:
em u=10: 13(10)^3/2-9(10)^1/2 =raiz10l(103-9r) =-173raiz10,
em u=9: 13(9)^3/2-9(9)^1/2 =13cdot 27 -9cdot 3 =9-27=-18
Subtraindo, obtemos
l(-tfrac173raiz10r)-(-18) =18-tfrac173raiz10

Resposta

integral0^1 x^3raiz9+x^2,dx =18-17raiz103

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