Resolva as EDOs abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que a gente tem aí:
Matéria envolvida: Aqui vamos trabalhar com EDOs que podem ser simplificadas usando métodos de equações homogêneas ou substituições que facilitam a resolução.
O que vamos precisar: Vamos precisar identificar se a equação é homogênea, simplificar os termos e usar uma substituição adequada para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para ver se conseguimos torná-la mais fácil de trabalhar. Observe que no numerador e no denominador temos fatores comuns:
Aqui, fatoramos o
no numerador e o
no denominador. Isso nos ajuda a ver a estrutura da equação de forma mais clara.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação é homogênea se todos os termos têm o mesmo grau quando consideramos
e
.
No numerador:
tem grau 3 (porque
tem grau 1 e
tem grau 2).
No denominador:
também tem grau 3 (porque
tem grau 1 e
tem grau 2).
Como os graus são iguais, a equação é homogênea. Isso significa que podemos usar a substituição
.
Passo 4
Vamos fazer a substituição
. Isso implica que
.
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Substituímos
e
na equação original:
Simplificando os termos:
Passo 5
Vamos isolar
:
Colocando tudo sobre um denominador comum:
Simplificando o numerador:
Então:
Passo 6
Parece complicado, então vamos tentar outra abordagem. Observando a equação original, vamos tentar separar as variáveis.
Voltemos à forma simplificada:
Podemos reescrever
como
:
Rearranjando para separar as variáveis:
Passo 7
Agora, vamos integrar ambos os lados:
Vamos resolver cada integral separadamente.
Para a esquerda:
Aqui, podemos usar a substituição
, então
, o que nos dá
.
Portanto:
Para a direita:
Usamos a substituição
, então
, o que nos dá
.
Portanto:
Passo 8
Juntando as integrais resolvidas:
Podemos multiplicar ambos os lados por 2 para simplificar:
onde
é uma constante constante.
Passo 9
Vamos reescrever a equação para isolar
:
Usando propriedades dos logaritmos:
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Como
é apenas uma constante, podemos renomeá-la como
:
Resposta
A solução geral da EDO é dada por:
Onde
é uma constante arbitrária.