Resolva as EDOs abaixo:
y^prime=-x+x y^2y+x^2 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que a gente tem aí:
y' = -x + x y^2y + x^2 y
Matéria envolvida: Aqui vamos trabalhar com EDOs que podem ser simplificadas usando métodos de equações homogêneas ou substituições que facilitam a resolução.
O que vamos precisar: Vamos precisar identificar se a equação é homogênea, simplificar os termos e usar uma substituição adequada para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para ver se conseguimos torná-la mais fácil de trabalhar. Observe que no numerador e no denominador temos fatores comuns:
y' = -x(1 + y^2)y(1 + x^2)
Aqui, fatoramos o x no numerador e o y no denominador. Isso nos ajuda a ver a estrutura da equação de forma mais clara.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é homogênea. Uma equação é homogênea se todos os termos têm o mesmo grau quando consideramos y e x.
No numerador: x(1 + y^2) tem grau 3 (porque x tem grau 1 e y^2 tem grau 2).
No denominador: y(1 + x^2) também tem grau 3 (porque y tem grau 1 e x^2 tem grau 2).
Como os graus são iguais, a equação é homogênea. Isso significa que podemos usar a substituição v = yx.

Passo 4

Vamos fazer a substituição v = yx. Isso implica que y = v x.
Agora, precisamos encontrar a derivada de y em relação a x:
y' = v + x v'
Substituímos y e y' na equação original:
v + x v' = -x(1 + v^2 x^2)v x (1 + x^2)
Simplificando os termos:
v + x v' = -1 + v^2 x^2v (1 + x^2)

Passo 5

Vamos isolar v':
x v' = -1 + v^2 x^2v (1 + x^2) - v
Colocando tudo sobre um denominador comum:
x v' = -1 + v^2 x^2 + v^2(1 + x^2)v (1 + x^2)
Simplificando o numerador:
1 + v^2 x^2 + v^2 + v^2 x^2 = 1 + v^2 (1 + 2x^2)
Então:
x v' = -1 + v^2 (1 + 2x^2)v (1 + x^2)

Passo 6

Parece complicado, então vamos tentar outra abordagem. Observando a equação original, vamos tentar separar as variáveis.
Voltemos à forma simplificada:
y' = -x(1 + y^2)y(1 + x^2)
Podemos reescrever y' como dydx:
dydx = -x(1 + y^2)y(1 + x^2)
Rearranjando para separar as variáveis:
y1 + y^2 dy = -x1 + x^2 dx

Passo 7

Agora, vamos integrar ambos os lados:
integral y1 + y^2 dy = -integral x1 + x^2 dx
Vamos resolver cada integral separadamente.
Para a esquerda:
integral y1 + y^2 dy
Aqui, podemos usar a substituição u = 1 + y^2, então du = 2y dy, o que nos dá 12 du = y dy.
Portanto:
12 integral 1u du = 12 ln|u| + C = 12 ln(1 + y^2) + C
Para a direita:
-integral x1 + x^2 dx
Usamos a substituição v = 1 + x^2, então dv = 2x dx, o que nos dá 12 dv = x dx.
Portanto:
-12 integral 1v dv = -12 ln|v| + C = -12 ln(1 + x^2) + C

Passo 8

Juntando as integrais resolvidas:
12 ln(1 + y^2) = -12 ln(1 + x^2) + C
Podemos multiplicar ambos os lados por 2 para simplificar:
ln(1 + y^2) = -ln(1 + x^2) + K
onde K é uma constante constante.

Passo 9

Vamos reescrever a equação para isolar y:
ln(1 + y^2) + ln(1 + x^2) = K
Usando propriedades dos logaritmos:
ln((1 + y^2)(1 + x^2)) = K
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
(1 + y^2)(1 + x^2) = e^K
Como e^K é apenas uma constante, podemos renomeá-la como C:
(1 + y^2)(1 + x^2) = C

Resposta

A solução geral da EDO é dada por:
(1 + y^2)(1 + x^2) = C
Onde C é uma constante arbitrária.

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