Calcule os limites:
lim x 0^+[cos 3 x]^1sen x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limx to 0^+ [cos 3x]^1/sin x. O conteúdo aqui é um indeterminado do tipo 1^infty, e vamos precisar usar expansão em série de Taylor de funções trigonométricas junto com a técnica de tomar o logaritmo.

Passo 2

Definimos y = [cos 3x]^1/sin x e, para eliminar a indeterminação, aplicamos o logaritmo em ambos os lados. Assim, obtemos
$$\ln y = \frac{\ln(\cos 3x)}{\sin x}.
$$

Passo 3

Expandimos em série de Taylor em torno de x=0:
cos 3x = 1 - (3x)^22 + o(x^2),
sin x = x + o(x)
Usando o desenvolvimento ln(1+u)=u+o(u), vem
ln(cos 3x) = -9x^22 + o(x^2)

Passo 4

Substituímos as expansões em ln y e simplificamos:
ln y = -tfrac9x^22 + o(x^2)x + o(x) = -9x2 + o(x)
Como x to 0^+, isso implica ln y to 0.

Passo 5

Voltando da forma logarítmica, concluímos que
limx to 0^+ y = limx to 0^+ e^ln y = e^0 = 1

Resposta

1

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