Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
. O conteúdo aqui é um indeterminado do tipo
, e vamos precisar usar expansão em série de Taylor de funções trigonométricas junto com a técnica de tomar o logaritmo.
Passo 2
Definimos
e, para eliminar a indeterminação, aplicamos o logaritmo em ambos os lados. Assim, obtemos
$$\ln y = \frac{\ln(\cos 3x)}{\sin x}.
$$
Passo 3
Expandimos em série de Taylor em torno de
:
Usando o desenvolvimento
, vem
Passo 4
Substituímos as expansões em
e simplificamos:
Como
, isso implica
.
Passo 5
Voltando da forma logarítmica, concluímos que
Resposta
1