Calcule a integral definida.
54. integral0^1 x cos (pi x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^1 xcosl(pi xr),dx
O conteúdo principal é integração por partes, que se baseia na fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
Para resolver, vamos identificar uma função u que simplifique ao derivar e um dv que seja fácil de integrar.

Passo 2

Escolhemos
u = x, dv = cosl(pi xr),dx
Então
du = dx, v = integral cosl(pi xr),dx = 1pi,sinl(pi xr)

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes em integral0^1 xcos(pi x),dx, obtemos
integral0^1 xcos(pi x),dx = [xcdot1pisin(pi x)]0^1 - integral0^1 1pisin(pi x),dx
O termo de fronteira é
[xcdot1pisin(pi x)]0^1 = 1pil(1cdotsinpi - 0cdotsin0r) = 0
Logo
integral0^1 xcos(pi x),dx = -1piintegral0^1 sin(pi x),dx

Passo 4

Agora calculamos
integral0^1 sin(pi x),dx
Fazendo a antiderivada,
integral sin(pi x),dx = -1picos(pi x),
então
integral0^1 sin(pi x),dx = [-1picos(pi x)]0^1 = -1pil(cospi - cos0r) = -1pil(-1 - 1r) = 2pi

Passo 5

Substituindo de volta,
integral0^1 xcos(pi x),dx = -1picdot 2pi = -2pi^2

Resposta

-2pi^2

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