Resolva os problemas de valores iniciais:
d qd t+q=4 cos 2 t ; q(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
dqdt + q = 4cos 2t, q(0)=1
O conteúdo aqui é equação diferencial ordinária linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Identificamos que a equação está na forma
dqdt + P(t),q = g(t)
com P(t)=1 e g(t)=4cos 2t. O fator integrante é
mu(t) = e^integral P(t),dt = e^integral 1,dt = e^t

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por mu(t)=e^t, obtendo
e^tdqdt + e^t q = 4e^tcos 2t
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^t q, ou seja,
ddtl(e^t qr) = 4e^tcos 2t

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
e^t q = integral 4e^tcos 2t,dt + C
Para calcular a integral, usamos a fórmula padrão
integral e^tcos 2t,dt = e^t5(cos 2t + 2sin 2t).
Logo,
integral 4e^tcos 2t,dt = 4e^t5l(cos 2t + 2sin 2tr)
e ficamos com
e^t q = 4e^t5l(cos 2t + 2sin 2tr) + C

Passo 5

Isolando q(t):
q(t) = 45l(cos 2t + 2sin 2tr) + C,e^-t

Passo 6

Aplicamos a condição inicial q(0)=1:
q(0) = 45(cos0 + 2sin0) + C,e^0 = 45(1+0) + C = 45 + C = 1
Assim C = 1 - tfrac45 = tfrac15.

Resposta

q(t) = 45l(cos 2t + 2sin 2tr) + 15e^-t

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