Calcule a integral definida dada usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{0}^{1}\left(x^{4}+3 x^{3}+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}\bigl(x^{4}+3x^{3}+1\bigr)\,dx
usando o Teorema Fundamental do Cálculo. O conteúdo aqui é encontrar uma antiderivada da função integranda e depois avaliar a diferença nos limites de integração.

Passo 2

Vamos determinar uma antiderivada F(x) de f(x)=x^{4}+3x^{3}+1. Integramos termo a termo:
\int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5}, \quad \int 3x^{3}\,dx = 3\cdot\frac{x^{4}}{4} = \frac{3x^{4}}{4}, \quad \int 1\,dx = x.
Portanto,
F(x) = \frac{x^{5}}{5} + \frac{3x^{4}}{4} + x.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos
\int_{0}^{1}f(x)\,dx = F(1) - F(0).

Passo 4

Calculamos F(1) e F(0):
F(1) = \frac{1^{5}}{5} + \frac{3\cdot1^{4}}{4} + 1 = \frac{1}{5} + \frac{3}{4} + 1, \quad F(0) = 0.

Passo 5

Agora somamos os termos de F(1) com denominador comum 20:
\frac{1}{5} + \frac{3}{4} + 1 = \frac{4}{20} + \frac{15}{20} + \frac{20}{20} = \frac{39}{20}.

Resposta

\displaystyle \frac{39}{20}

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