Calcule a integral fazendo a substituição dada.
(a) \int \cos (3 x) d x, \quad u=3 x
(b) \int \frac{4}{(1+2 x)^{3}} d x, \quad u=1+2 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular duas integrais usando o método de substituição. O conteúdo aqui é a técnica de integração por substituição (u-substituição), em que definimos uma nova variável \,u para simplificar a integral e usamos a relação entre du e dx.

Passo 2

Vamos resolver
\int \cos(3x)\,dx
com a substituição \,u=3x. Então
du = 3\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{3}.
Substituindo na integral, obtemos
\int \cos(3x)\,dx = \int \cos(u)\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int \cos(u)\,du.
Como \int \cos(u)\,du = \sin(u), concluímos
\int \cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\sin(u) + C = \frac{1}{3}\sin(3x) + C.

Passo 3

Agora, calculamos
\int \frac{4}{(1+2x)^{3}}\,dx
com a substituição \,u=1+2x. Então
du = 2\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{2}.
Reescrevendo a integral em u:
\int \frac{4}{(1+2x)^{3}}\,dx = 4\int u^{-3}\,\frac{du}{2} = 2\int u^{-3}\,du.
Como \int u^{-3}\,du = \frac{u^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2u^2}, segue
2\int u^{-3}\,du = 2\Bigl(-\frac{1}{2u^2}\Bigr) + C = -\frac{1}{u^2} + C = -\frac{1}{(1+2x)^{2}} + C.

Resposta

(a) \displaystyle \int \cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\sin(3x) + C.
(b) \displaystyle \int \frac{4}{(1+2x)^{3}}\,dx = -\frac{1}{(1+2x)^{2}} + C.

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