Verifique que \operatorname{sen}^{2} x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} \cos (2 x)
Calcule
Verifique que \cos ^{2} x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cos (2 x)
Calcule \int \cos ^{2} x d x.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. Verificar a identidade
\operatorname{sen}^{2}x = \tfrac12 - \tfrac12\cos(2x).
  1. Verificar a identidade
\cos^{2}x = \tfrac12 + \tfrac12\cos(2x).
  1. Calcular a integral
\int \cos^{2}x\,dx.
Vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo duplo
\cos(2x) = 1 - 2\operatorname{sen}^{2}x = 2\cos^{2}x - 1
para obter as duas identidades e depois integrar.

Passo 2

Partimos da primeira expressão do cosseno duplo:
\cos(2x) = 1 - 2\operatorname{sen}^{2}x.
Isolando \operatorname{sen}^{2}x, temos
2\operatorname{sen}^{2}x = 1 - \cos(2x) \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sen}^{2}x = \frac{1 - \cos(2x)}{2} = \frac12 - \frac12\,\cos(2x),
que era o que queríamos verificar.

Passo 3

Agora usamos a segunda expressão do cosseno duplo:
\cos(2x) = 2\cos^{2}x - 1.
Isolando \cos^{2}x, obtemos
2\cos^{2}x = 1 + \cos(2x) \quad\Longrightarrow\quad \cos^{2}x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} = \frac12 + \frac12\,\cos(2x),
confirmando a segunda identidade.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int \cos^{2}x\,dx, substituímos
\cos^{2}x = \frac12 + \frac12\cos(2x).
Então
\int \cos^{2}x\,dx = \int \Bigl(\tfrac12 + \tfrac12\cos(2x)\Bigr)\,dx = \frac12\int 1\,dx + \frac12\int \cos(2x)\,dx.
Integramos cada parte:
\int 1\,dx = x, \qquad \int \cos(2x)\,dx = \frac{\sin(2x)}{2}.
Logo
\int \cos^{2}x\,dx = \frac12\,x + \frac12\cdot\frac{\sin(2x)}{2} + C = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C.

Resposta

\int \cos^{2}x\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C.

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