Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D e tem a função densidade fornecida rho.
D=(x, y) mid 0 <= x <= 2,0 <= y <= 3 ; rho(x, y)=y

Passo 1

Beleza, o exercício tá pedindo a massa total de uma lâmina (uma placa fininha) que ocupa o retângulo
D=(x,y)mid 0<= x<=2,;0<= y<=3
e tem densidade variável rho(x,y)=y.
Conteúdo: cálculo de integrais duplas para massa e centro de massa.
O que vamos precisar:
  • A fórmula da massa:
M=integral duplaDrho(x,y),dA
  • As fórmulas do centro de massa (bar x,bar y):
bar x=1Mintegral duplaD x,rho(x,y),dA, bar y=1Mintegral duplaD y,rho(x,y),dA
A partir do próximo passo a gente resolve de verdade.

Passo 2

Calcular a massa M.
Usamos
M=integral duplaD y,dA =integralx=0^2integraly=0^3 y,dy,dx
  1. Integramos em y:
integral0^3 y,dy =y^22|0^3 =92
  1. Agora em x:
M=integral0^2 92,dx =92,x|0^2 =92times2 =9

Passo 3

Calcular bar x.
Fórmula do momento em relação ao eixo y:
My=integral duplaD x,rho(x,y),dA =integral0^2integral0^3 x,y,dy,dx
  1. Integramos em y (mesmo que antes):
integral0^3 y,dy=92,
então
My=integral0^2 xcdot92,dx =92integral0^2 x,dx =92cdotx^22|0^2 =92cdot2 =9
Logo
bar x=MyM=99=1

Passo 4

Calcular bar y.
Fórmula do momento em relação ao eixo x:
Mx=integral duplaD y,rho(x,y),dA =integral0^2integral0^3 ycdot y,dy,dx =integral0^2integral0^3 y^2,dy,dx
  1. Integramos em y:
integral0^3 y^2,dy =y^33|0^3 =273 =9
  1. Em x:
Mx=integral0^2 9,dx =9cdot2 =18
Então
bar y=MxM=189=2

Resposta

Massa M=9.
Centro de massa l(bar x,bar yr)=(1,2).

Exercícios relacionados