In exercises 1-8, find the Taylor polynomials of degree two approximating the given function centered at the given point.
f(x)=1x at a=1

Passo 1

O enunciado pede o polinômio de Taylor de grau dois para a função f(x)=1x centrado em a=1. Vamos usar a fórmula
T2(x)=f(a)+f'(a),(x-a)+f''(a)2,(x-a)^2,
que precisa dos valores de f(a), f'(a) e f''(a).

Passo 2

Calculamos as derivadas de f:
f(x)=x^-1, f'(x)=-x^-2, f''(x)=2,x^-3

Passo 3

Agora avaliamos em a=1:
f(1)=1, f'(1)=-1, f''(1)=2

Passo 4

Substituímos na fórmula de Taylor de grau dois:
T2(x)=1+(-1),(x-1)+22,(x-1)^2 =1-(x-1)+(x-1)^2

Passo 5

Se quisermos, podemos expandir:
1-(x-1)+(x-1)^2 =x^2-3x+3

Resposta

T2(x)=1-(x-1)+(x-1)^2

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