Calcule a integral definida, se existir.
int0^pi / 4 sen 4 t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^pi/4sin4t,dt
O conteúdo envolvido é a integração de uma função seno cujo argumento é uma função linear, e vamos usar o antiderivado de sin(kt).

Passo 2

Sabemos que
integral sin(kt),dt = -1kcos(kt) + C
Logo, um antiderivado de sin4t é
-14cos4t

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos esse antiderivado entre t=0 e t=pi/4:
integral0^pi/4sin4t,dt =l[-tfrac14cos4tr]0^pi/4

Passo 4

Calculamos os valores nos limites:
cosl(4cdottfracpi4r)=cospi=-1, cos(0)=1
Portanto,
integral0^pi/4sin4t,dt =-tfrac14l(cospi-cos0r) =-tfrac14(-1-1) =tfrac12

Resposta

tfrac12

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