Calcule a integral definida, se existir.
int0^4 raiz1-2 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^4 raiz1-2x,dx
O conteúdo envolve domínio de definição da função sob a raiz e avaliação de integral (possivelmente imprópria).

Passo 2

Note que a função
f(x)=raiz1-2x
só está realmente definida quando
1-2x>=0Longrightarrow x<=tfrac12
No intervalo de integração [0,4] temos x>1/2 para parte do domínio, onde f(x) não é real.

Passo 3

Para ver se há integral imprópria válida, dividimos
integral0^4raiz1-2x,dx =integral0^1/2raiz1-2x,dx +integral1/2^4raiz1-2x,dx
O segundo termo não é definido em R, logo a integral em [0,4] falha como integral definida real.

Passo 4

Apesar disso, a parte de 0 até 1/2 é convergente. Fazendo a substituição u=1-2x, du=-2,dx, obtemos
integral0^1/2raiz1-2x,dx =integralu=1^0u^1/2l(-tfrac12,dur) =tfrac12integral0^1u^1/2,du =tfrac12cdottfrac23u^3/2|0^1 =tfrac13

Passo 5

Como a função não está definida em [1/2,4], a integral original não existe no sentido de integral definida real.

Resposta

A integral integral0^4raiz1-2x,dx não existe no sentido real, pois o integrando não está definido para x>1/2.

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