Calcule a integral definida, se existir.
int0^1(x^4+x)^5(4 x^3+1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^1l(x^4+xr)^5l(4x^3+1r),dx
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição, pois notamos uma função composta (x^4+x) elevada a uma potência e sua “quase derivada” 4x^3+1 multiplicando.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^4 + x
Derivando ambos os lados em relação a x, temos
du = l(4x^3 + 1r),dx
Note que esse du aparece exatamente como fator na integral original.

Passo 3

Convertendo os limites de x para u:
  • Quando x=0, u = 0^4+0 = 0.
  • Quando x=1, u = 1^4+1 = 2.
    Logo, a integral fica
integral0^1(x^4+x)^5(4x^3+1),dx = integral0^2u^5,du

Passo 4

Integramos u^5:
integral0^2u^5,du = gl[u^66gr]0^2 = 2^66 - 0 = 646 = 323

Resposta

323

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