Calcule a integral definida:
\int_{e}^{e^{\Delta}} \frac{d x}{x^{2}(\operatorname{Ln} x)} d x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral definida
\int_{e}^{e^{\Delta}} \frac{dx}{x^{2}(\ln x)}
Vamos usar a substituição u=\ln x e, em seguida, relacionar o resultado com a função integral exponencial.

Passo 2

Com u=\ln x vem du=\frac{dx}{x}, isto é, dx=x\,du=e^{u}du, e também x^{2}=e^{2u}. Os limites transformam-se assim:
para x=e temos u=1, e para x=e^{\Delta} temos u=\Delta.
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\int_{e}^{e^{\Delta}} \frac{dx}{x^{2}(\ln x)} = \int_{1}^{\Delta} \frac{e^{u}du}{e^{2u}\,u} = \int_{1}^{\Delta} \frac{e^{-u}}{u}\,du.

Passo 3

A integral
\int \frac{e^{-u}}{u}\,du
não se expressa em termos de funções elementares, mas define a função integral exponencial incompleta. Definimos
E_{1}(x)=\int_{x}^{\infty}\frac{e^{-t}}{t}\,dt.
Dessa definição segue que, para a<b,
\int_{a}^{b}\frac{e^{-u}}{u}\,du = \int_{a}^{\infty}\frac{e^{-u}}{u}\,du - \int_{b}^{\infty}\frac{e^{-u}}{u}\,du = E_{1}(a)-E_{1}(b).

Passo 4

Aplicando a=1 e b=\Delta na fórmula acima, obtemos
\int_{1}^{\Delta}\frac{e^{-u}}{u}\,du = E_{1}(1)-E_{1}(\Delta).

Resposta

E_{1}(1)-E_{1}(\Delta)

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