O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não-homogênea de terceira ordem
y''' + y' = \tan t,\quad 0<t<\frac\pi2.
O conteúdo usado aqui é a decomposição em parte homogênea e parte particular. Vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois um particular por redução de ordem.
Passo 2
Analisamos a parte homogênea
y''' + y' = 0.
O polinômio característico é
r^3 + r = r\,(r^2+1)=0,
cuja raízes são r=0, r=i e r=-i. Logo a solução geral homogênea é
y_h(t) = C_1 + C_2\cos t + C_3\sin t.
Passo 3
Para achar um particular, notamos que
y'''+y' = \frac{d}{dt}\bigl(y''+y\bigr).
Então integramos ambos os lados:
y''+y = \int \tan t\,dt = \ln\bigl|\operatorname{sec} t\bigr| + A.
O termo constante A pode ser absorvido em C_1, portanto podemos tomar
y''+y = \ln(\operatorname{sec} t).
Passo 4
Agora resolvemos a EDO de segunda ordem
y''+y = \ln(\operatorname{sec} t).
A solução geral é
y(t) = y_{h2}(t) + y_p(t),
onde y_{h2}(t) resolve a homogênea y''+y=0, ou seja
y_{h2}(t)=C_2\cos t + C_3\sin t,
e y_p(t) é um particular dado pelo método de variação de parâmetros.
Passo 5
No método de variação de parâmetros, com soluções fundamentais \cos t e \sin t, temos