Encontre a solução geral da equação
y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime}=\tan t, \quad 0<t<\pi / 2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não-homogênea de terceira ordem
y''' + y' = \tan t,\quad 0<t<\frac\pi2.
O conteúdo usado aqui é a decomposição em parte homogênea e parte particular. Vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois um particular por redução de ordem.

Passo 2

Analisamos a parte homogênea
y''' + y' = 0.
O polinômio característico é
r^3 + r = r\,(r^2+1)=0,
cuja raízes são r=0, r=i e r=-i. Logo a solução geral homogênea é
y_h(t) = C_1 + C_2\cos t + C_3\sin t.

Passo 3

Para achar um particular, notamos que
y'''+y' = \frac{d}{dt}\bigl(y''+y\bigr).
Então integramos ambos os lados:
y''+y = \int \tan t\,dt = \ln\bigl|\operatorname{sec} t\bigr| + A.
O termo constante A pode ser absorvido em C_1, portanto podemos tomar
y''+y = \ln(\operatorname{sec} t).

Passo 4

Agora resolvemos a EDO de segunda ordem
y''+y = \ln(\operatorname{sec} t).
A solução geral é
y(t) = y_{h2}(t) + y_p(t),
onde y_{h2}(t) resolve a homogênea y''+y=0, ou seja
y_{h2}(t)=C_2\cos t + C_3\sin t,
e y_p(t) é um particular dado pelo método de variação de parâmetros.

Passo 5

No método de variação de parâmetros, com soluções fundamentais \cos t e \sin t, temos
y_p = -\cos t\int \sin t\,\ln(\operatorname{sec} t)\,dt \;+\;\sin t\int \cos t\,\ln(\operatorname{sec} t)\,dt.

Passo 6

Calculamos separadamente
  1. \displaystyle I_1=\int \sin t\,\ln(\operatorname{sec} t)\,dt=\int \sin t\bigl(-\ln(\cos t)\bigr)dt=-\!\int\sin t\ln(\cos t)\,dt.
    Usando integração por partes, chega-se a I_1=\cos t\ln(\cos t)-\cos t + K_1.
  2. \displaystyle I_2=\int \cos t\,\ln(\operatorname{sec} t)\,dt=-\!\int\cos t\ln(\cos t)\,dt.
    Integração por partes leva a I_2=-\sin t\ln(\cos t)-\ln\bigl(\operatorname{sec} t+\tan t\bigr)+\sin t + K_2.
Substituindo em y_p e reunindo constantes numa só, obtemos
y_p(t)=-\ln(\cos t)\;-\,\sin t\;\ln\bigl(\operatorname{sec} t+\tan t\bigr).

Resposta

Juntando tudo, a solução geral é
\boxed{y(t)=C_1 + C_2\cos t + C_3\sin t \;-\;\ln(\cos t)\;-\;\sin t\;\ln\bigl(\operatorname{sec} t+\tan t\bigr),}
com C_1,C_2,C_3 constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados