Calcule a integral:
\int \cos x(\operatorname{Ln} x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \cos x\,\ln x\,dx.
Como aparece o \ln x multiplicando uma função trigonométrica, a técnica mais indicada é a integração por partes. Note que \ln x só está definido para x>0.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln x, \quad dv = \cos x\,dx.
Daí
du = \frac{1}{x}\,dx, \quad v = \sin x.
Pela fórmula de partes,
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
segue que
\int \cos x\,\ln x\,dx = \ln x\;\sin x - \int \sin x\;\frac{1}{x}\,dx.

Passo 3

O integral
\int \frac{\sin x}{x}\,dx
não se expressa em termos de funções elementares, mas define a função integral seno. Por definição,
\mathrm{Si}(x) = \int_{0}^{x}\frac{\sin t}{t}\,dt.
Em forma indefinida, podemos escrever
\int \frac{\sin x}{x}\,dx = \mathrm{Si}(x) + C_1.
Substituindo de volta,
\int \cos x\,\ln x\,dx = \sin x\,\ln x - \mathrm{Si}(x) + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\sin x\,\ln x \;-\; \mathrm{Si}(x)\;+\;C

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