Calcule a integral definida:
\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
I = \int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é usar uma substituição para transformar essa integral num caso padrão de potência de u.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2} + 4.
Diferenciando, obtemos
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Precisamos ajustar os limites de integração:
  • quando x=0, temos u = 0^{2} + 4 = 4;
  • quando x=1, temos u = 1^{2} + 4 = 5.
Substituindo na integral, fica
I = \int_{x=0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}}\,dx = \int_{u=4}^{5} \frac{1}{\sqrt{u}}\;\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{4}^{5} u^{-\tfrac12}\,du.

Passo 4

Agora integramos u^{-\tfrac12}:
\int u^{-\tfrac12}\,du = 2\,u^{\tfrac12}.
Logo
I = \frac{1}{2}\bigl[2\,u^{\tfrac12}\bigr]_{4}^{5} = \bigl[u^{\tfrac12}\bigr]_{4}^{5} = \sqrt{5} - \sqrt{4} = \sqrt{5} - 2.

Resposta

\sqrt{5} - 2

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