Calcule a integral definida
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- Os limites de integração são
e . - A função a integrar é
, que é a soma de dois termos: e .
Passo 2
Plano de resolução (só para organização; não pula etapas): vou separar a integral em duas
calcular cada uma usando primitivação (antiderivadas). Para
uso a regra de integração por partes repetida.
Explicação rápida da fórmula que vou usar: a integração por partes é
onde
é uma função cuja derivada
é mais simples, e
é uma parte que sabemos integrar para obter
. Aqui
,
,
,
são todas expressas em termos de
.
Passo 3
Calcular
. Esta é direta porque a derivada de
é
. Logo uma antiderivada é
No contexto da integral definida, vamos avaliar essa primitiva nos limites quando for preciso.
Passo 4
Calcular
por partes. Escolho
Então
Aplicando integração por partes:
Simplificando:
Passo 5
Agora calcular
novamente por partes. Escolho
portanto
Aplicando:
Já sabemos
, então
Passo 6
Voltar para
. Pela Passo 4 temos
Substituindo o resultado da Passo 5:
Fazendo a distributiva:
Passo 7
Agora somar as primitivas das duas parcelas. Temos
Substituindo as primitivas encontradas:
Somando:
Logo uma primitiva é
.
Passo 8
Avaliar a integral definida usando
:
Calcular
:
Calcular
:
Portanto