Calcule a integral definida
\int_{0}^{1}\left(x^{2}+1\right) e^{-x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}\left(x^{2}+1\right)e^{-x}\,dx.
Informações dadas:
  • Os limites de integração são 0 e 1.
  • A função a integrar é \left(x^{2}+1\right)e^{-x}, que é a soma de dois termos: x^{2}e^{-x} e e^{-x}.

Passo 2

Plano de resolução (só para organização; não pula etapas): vou separar a integral em duas
\int_{0}^{1}\left(x^{2}+1\right)e^{-x}\,dx=\int_{0}^{1}x^{2}e^{-x}\,dx+\int_{0}^{1}e^{-x}\,dx,
calcular cada uma usando primitivação (antiderivadas). Para \int x^{2}e^{-x}\,dx uso a regra de integração por partes repetida.
Explicação rápida da fórmula que vou usar: a integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u é uma função cuja derivada du é mais simples, e dv é uma parte que sabemos integrar para obter v. Aqui u, du, v, dv são todas expressas em termos de x.

Passo 3

Calcular \displaystyle \int e^{-x}\,dx. Esta é direta porque a derivada de e^{-x} é -e^{-x}. Logo uma antiderivada é
\int e^{-x}\,dx = -e^{-x}+C.
No contexto da integral definida, vamos avaliar essa primitiva nos limites quando for preciso.

Passo 4

Calcular \displaystyle \int x^{2}e^{-x}\,dx por partes. Escolho
u = x^{2},\qquad dv = e^{-x}\,dx.
Então
du = 2x\,dx,\qquad v = \int e^{-x}\,dx = -e^{-x}.
Aplicando integração por partes:
\int x^{2}e^{-x}\,dx = u v - \int v\,du = -x^{2}e^{-x} - \int \bigl(-e^{-x}\bigr)\,2x\,dx.
Simplificando:
\int x^{2}e^{-x}\,dx = -x^{2}e^{-x} + 2\int x e^{-x}\,dx.

Passo 5

Agora calcular \displaystyle \int x e^{-x}\,dx novamente por partes. Escolho
u = x,\qquad dv = e^{-x}\,dx,
portanto
du = dx,\qquad v = -e^{-x}.
Aplicando:
\int x e^{-x}\,dx = u v - \int v\,du = -x e^{-x} - \int \bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx = -x e^{-x} + \int e^{-x}\,dx.
Já sabemos \displaystyle \int e^{-x}\,dx = -e^{-x}, então
\int x e^{-x}\,dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C = -(x+1)e^{-x}+C.

Passo 6

Voltar para \int x^{2}e^{-x}\,dx. Pela Passo 4 temos
\int x^{2}e^{-x}\,dx = -x^{2}e^{-x} + 2\int x e^{-x}\,dx.
Substituindo o resultado da Passo 5:
\int x^{2}e^{-x}\,dx = -x^{2}e^{-x} + 2\bigl(-(x+1)e^{-x}\bigr) + C.
Fazendo a distributiva:
\int x^{2}e^{-x}\,dx = -x^{2}e^{-x} -2x e^{-x} -2 e^{-x} + C = -(x^{2}+2x+2)e^{-x}+C.

Passo 7

Agora somar as primitivas das duas parcelas. Temos
\int \bigl(x^{2}+1\bigr)e^{-x}\,dx = \int x^{2}e^{-x}\,dx + \int e^{-x}\,dx.
Substituindo as primitivas encontradas:
\int \bigl(x^{2}+1\bigr)e^{-x}\,dx = -(x^{2}+2x+2)e^{-x} + \bigl(-e^{-x}\bigr) + C.
Somando:
\int \bigl(x^{2}+1\bigr)e^{-x}\,dx = -(x^{2}+2x+3)e^{-x} + C.
Logo uma primitiva é F(x)=-(x^{2}+2x+3)e^{-x}.

Passo 8

Avaliar a integral definida usando F:
\int_{0}^{1}\bigl(x^{2}+1\bigr)e^{-x}\,dx = F(1)-F(0).
Calcular F(1):
F(1)=-(1^{2}+2\cdot1+3)e^{-1}=-(1+2+3)e^{-1}=-6e^{-1}=-\dfrac{6}{e}.
Calcular F(0):
F(0)=-(0^{2}+2\cdot0+3)e^{0}= -3\cdot 1 = -3.
Portanto
\int_{0}^{1}\bigl(x^{2}+1\bigr)e^{-x}\,dx = -\dfrac{6}{e} - (-3) = 3 - \dfrac{6}{e}.

Resposta

\displaystyle 3-\dfrac{6}{e}

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