Calcule a integral definida
\int_{1}^{4} x^{4}(\ln x)^{2} d x

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos:
  • Calcular a integral definida
\int_{1}^{4} x^{4}(\ln x)^{2}\,dx.
  • Limites de integração: x=1 até x=4.
    Nada mais é dado.

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): uma boa troca é usar a substituição \,t=\ln x, porque aparece (\ln x)^{2} e a derivada de \ln x simplifica dx. Vou fazer essa substituição e transformar a integral em uma integral em t.

Passo 3

Executando a substituição \,t=\ln x:
  • Então x=e^{t}.
  • Derivando, dx=e^{t}\,dt.
  • Também x^{4}=(e^{t})^{4}=e^{4t}.
  • Os limites mudam: quando x=1 tem t=\ln 1=0; quando x=4 tem t=\ln 4.
Substituindo tudo na integral:
\int_{1}^{4} x^{4}(\ln x)^{2}\,dx = \int_{0}^{\ln 4} e^{4t}\,t^{2}\,e^{t}\,dt = \int_{0}^{\ln 4} e^{5t}\,t^{2}\,dt.

Passo 4

Agora precisamos calcular a integral indefinida \int e^{5t}t^{2}\,dt. Vou usar integração por partes duas vezes. Lembrete da fórmula de integração por partes: para funções u(t) e v(t),
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde du é a derivada de u e v é uma primitiva de dv.
Escolho na primeira aplicação:
u=t^{2},\qquad dv=e^{5t}\,dt.
Então
du=2t\,dt,\qquad v=\int e^{5t}\,dt=\frac{e^{5t}}{5}.
Aplicando a fórmula:
\int e^{5t}t^{2}\,dt = t^{2}\cdot\frac{e^{5t}}{5} - \int \frac{e^{5t}}{5}\cdot 2t\,dt = \frac{e^{5t}t^{2}}{5} - \frac{2}{5}\int e^{5t}t\,dt.

Passo 5

Agora calculo \int e^{5t}t\,dt por partes de novo. Escolho:
u=t,\qquad dv=e^{5t}\,dt,
então
du=dt,\qquad v=\frac{e^{5t}}{5}.
Aplicando a fórmula:
\int e^{5t}t\,dt = t\cdot\frac{e^{5t}}{5} - \int \frac{e^{5t}}{5}\,dt = \frac{e^{5t}t}{5} - \frac{1}{5}\int e^{5t}\,dt = \frac{e^{5t}t}{5} - \frac{1}{5}\cdot\frac{e^{5t}}{5} = \frac{e^{5t}t}{5} - \frac{e^{5t}}{25}.

Passo 6

Volto à expressão do Passo 4:
\int e^{5t}t^{2}\,dt = \frac{e^{5t}t^{2}}{5} - \frac{2}{5}\left(\frac{e^{5t}t}{5} - \frac{e^{5t}}{25}\right).
Agora simplifico os coeficientes:
\int e^{5t}t^{2}\,dt = \frac{e^{5t}t^{2}}{5} - \frac{2e^{5t}t}{25} + \frac{2e^{5t}}{125}.
Fatorando e^{5t} se quiser:
\int e^{5t}t^{2}\,dt = e^{5t}\!\left(\frac{t^{2}}{5} - \frac{2t}{25} + \frac{2}{125}\right) + C.

Passo 7

Agora aplico os limites de integração t=0 até t=\ln 4. Assim
\int_{0}^{\ln 4} e^{5t}t^{2}\,dt = \left[e^{5t}\!\left(\frac{t^{2}}{5} - \frac{2t}{25} + \frac{2}{125}\right)\right]_{0}^{\ln 4}.
Avalio em t=\ln 4 e em t=0.
Para t=\ln 4: e^{5t}=e^{5\ln 4}=4^{5}=1024. Então o termo superior é
1024\left(\frac{(\ln 4)^{2}}{5} - \frac{2\ln 4}{25} + \frac{2}{125}\right).
Para t=0: e^{0}=1 e t=0 zera os primeiros dois termos, sobrando \dfrac{2}{125}. Então o termo inferior é \dfrac{2}{125}.
Subtraindo:
\int_{0}^{\ln 4} e^{5t}t^{2}\,dt = 1024\left(\frac{(\ln 4)^{2}}{5} - \frac{2\ln 4}{25} + \frac{2}{125}\right) - \frac{2}{125}.

Passo 8

Se quiser deixar a resposta em termos de \ln 2 (porque \ln 4=2\ln 2), simplifico:
(\ln 4)^{2}=4(\ln 2)^{2},\qquad \ln 4=2\ln 2.
Substituindo,
\int_{1}^{4} x^{4}(\ln x)^{2}\,dx = \frac{4096}{5}(\ln 2)^{2} - \frac{4096}{25}\ln 2 + \frac{2046}{125}.

Resposta

\dfrac{4096}{5}(\ln 2)^{2}-\dfrac{4096}{25}\ln 2+\dfrac{2046}{125}

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