Calcule a integral definida
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos:
- Calcular a integral definida
- Limites de integração:
até .
Nada mais é dado.
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): uma boa troca é usar a substituição
, porque aparece
e a derivada de
simplifica
. Vou fazer essa substituição e transformar a integral em uma integral em
.
Passo 3
Executando a substituição
:
- Então
. - Derivando,
. - Também
. - Os limites mudam: quando
tem ; quando tem .
Substituindo tudo na integral:
Passo 4
Agora precisamos calcular a integral indefinida
. Vou usar integração por partes duas vezes. Lembrete da fórmula de integração por partes: para funções
e
,
onde
é a derivada de
e
é uma primitiva de
.
Escolho na primeira aplicação:
Então
Aplicando a fórmula:
Passo 5
Agora calculo
por partes de novo. Escolho:
então
Aplicando a fórmula:
Passo 6
Volto à expressão do Passo 4:
Agora simplifico os coeficientes:
Fatorando
se quiser:
Passo 7
Agora aplico os limites de integração
até
. Assim
Avalio em
e em
.
Para
:
. Então o termo superior é
Para
:
e
zera os primeiros dois termos, sobrando
. Então o termo inferior é
.
Subtraindo:
Passo 8
Se quiser deixar a resposta em termos de
(porque
), simplifico:
Substituindo,