Calcule a integral definida
\int_{0}^{1 / 2} x \cos (\pi x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1/2} x\cos(\pi x)\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é a função x\cos(\pi x).
  • Os limites de integração são 0 e 1/2.
  • O objetivo é obter o valor numérico exato da integral.

Passo 2

Escolha do método: para integrais do tipo produto de uma função polinomial ( x) por uma função trigonométrica ( \cos(\pi x)), o método mais direto e econômico é a integração por partes. Vou explicar essa técnica de forma didática.
Fórmula de integração por partes: se u=u(x) e v=v(x) são funções diferenciáveis, então vale
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui:
  • u é uma função que escolhemos para simplificar ao derivar (derivar u deve tornar as contas mais fáceis);
  • dv é a parte restante, que integramos para obter v;
  • du é a derivada de u em termos de dx;
  • v é uma primitiva de dv.
A ideia prática: escolher u como algo que fica mais simples ao derivar (por exemplo x), e dv como algo fácil de integrar (por exemplo \cos(\pi x)\,dx).

Passo 3

Escolhemos
u = x,\qquad dv = \cos(\pi x)\,dx.
Calculamos du e v:
  • Derivando u: du = dx.
  • Integrando dv: precisamos de uma primitiva de \cos(\pi x). Sabendo que \dfrac{d}{dx}\sin(\pi x)=\pi\cos(\pi x), uma primitiva é
v = \frac{1}{\pi}\sin(\pi x).
Isso porque \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{1}{\pi}\sin(\pi x)\right)=\dfrac{1}{\pi}\cdot\pi\cos(\pi x)=\cos(\pi x).

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes na integral definida \int_{0}^{1/2} x\cos(\pi x)\,dx, obtemos:
\int_{0}^{1/2} x\cos(\pi x)\,dx = \left[ x\cdot\frac{1}{\pi}\sin(\pi x)\right]_{0}^{1/2} - \int_{0}^{1/2} \frac{1}{\pi}\sin(\pi x)\,dx.
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 5

Cálculo do termo de contorno:
\left[ x\cdot\frac{1}{\pi}\sin(\pi x)\right]_{0}^{1/2} = \frac{1}{\pi}\cdot\frac{1}{2}\sin\!\left(\pi\cdot\frac{1}{2}\right) - \frac{1}{\pi}\cdot 0\cdot\sin(0).
Como \sin(\pi/2)=1 e \sin(0)=0, isso dá
\left[ x\cdot\frac{1}{\pi}\sin(\pi x)\right]_{0}^{1/2} = \frac{1}{2\pi}.

Passo 6

Cálculo da integral restante:
\int_{0}^{1/2} \frac{1}{\pi}\sin(\pi x)\,dx = \frac{1}{\pi}\int_{0}^{1/2} \sin(\pi x)\,dx.
Uma primitiva de \sin(\pi x) é -\dfrac{1}{\pi}\cos(\pi x), pois \dfrac{d}{dx}\left(-\dfrac{1}{\pi}\cos(\pi x)\right)=\sin(\pi x). Portanto,
\int_{0}^{1/2} \sin(\pi x)\,dx = \left[-\frac{1}{\pi}\cos(\pi x)\right]_{0}^{1/2} = -\frac{1}{\pi}\big(\cos(\pi/2)-\cos(0)\big).
Usando \cos(\pi/2)=0 e \cos(0)=1, obtemos
\int_{0}^{1/2} \sin(\pi x)\,dx = -\frac{1}{\pi}(0-1)=\frac{1}{\pi}.
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{\pi} que estava fora, a integral restante vale
\frac{1}{\pi}\int_{0}^{1/2}\sin(\pi x)\,dx = \frac{1}{\pi}\cdot\frac{1}{\pi} = \frac{1}{\pi^{2}}.

Passo 7

Juntando os resultados (termo de contorno menos a integral restante):
\int_{0}^{1/2} x\cos(\pi x)\,dx = \frac{1}{2\pi} - \frac{1}{\pi^{2}}.
Colocando em denominateur comum 2\pi^{2},
\frac{1}{2\pi} - \frac{1}{\pi^{2}} = \frac{\pi}{2\pi^{2}} - \frac{2}{2\pi^{2}} = \frac{\pi-2}{2\pi^{2}}.

Resposta

\dfrac{\pi-2}{2\pi^{2}}

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