Calcule a integral definida
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é a função
. - Os limites de integração são
e . - O objetivo é obter o valor numérico exato da integral.
Passo 2
Escolha do método: para integrais do tipo produto de uma função polinomial (
) por uma função trigonométrica (
), o método mais direto e econômico é a integração por partes. Vou explicar essa técnica de forma didática.
Fórmula de integração por partes: se
e
são funções diferenciáveis, então vale
Aqui:
-
é uma função que escolhemos para simplificar ao derivar (derivar deve tornar as contas mais fáceis); -
é a parte restante, que integramos para obter ; -
é a derivada de em termos de ; -
é uma primitiva de .
A ideia prática: escolher
como algo que fica mais simples ao derivar (por exemplo
), e
como algo fácil de integrar (por exemplo
).
Passo 3
Escolhemos
Calculamos
e
:
- Derivando
: . - Integrando
: precisamos de uma primitiva de . Sabendo que , uma primitiva é
Isso porque
.
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes na integral definida
, obtemos:
Vamos calcular cada termo separadamente.
Passo 5
Cálculo do termo de contorno:
Como
e
, isso dá
Passo 6
Cálculo da integral restante:
Uma primitiva de
é
, pois
. Portanto,
Usando
e
, obtemos
Multiplicando pelo fator
que estava fora, a integral restante vale
Passo 7
Juntando os resultados (termo de contorno menos a integral restante):
Colocando em denominateur comum
,