Calcule a integral definida:
\int_{0}^{1}\left(3 x^{2}+2 x+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}\bigl(3x^{2}+2x+1\bigr)\,dx.
Isso é um polinômio em x, então vamos usar a regra de potência termo a termo.

Passo 2

Para cada termo escolhemos uma antiderivada:
a integral de 3x^{2} é
\int 3x^{2}\,dx = 3\cdot\frac{x^{3}}{3}=x^{3},
a de 2x é
\int 2x\,dx = 2\cdot\frac{x^{2}}{2}=x^{2},
e a de 1 é
\int 1\,dx = x.
Logo uma primitiva geral é
F(x)=x^{3}+x^{2}+x + C.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{1}\bigl(3x^{2}+2x+1\bigr)\,dx = F(1)-F(0).
Calculando:
F(1)=1^{3}+1^{2}+1=3,\quad F(0)=0^{3}+0^{2}+0=0.

Passo 4

Fazendo a diferença, obtemos
\int_{0}^{1}\bigl(3x^{2}+2x+1\bigr)\,dx = 3 - 0 = 3.

Resposta

3

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