Encontre Valor Médio para a função f(x)=3 x^{2} no intervalo [1,3].

Passo 1

O enunciado pede o valor médio da função f(x)=3x^{2} no intervalo [1,3]. Esse problema envolve o conceito de valor médio de uma função contínua, cuja fórmula é
V_{m}=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx.
Para resolver, precisamos calcular a integral definida de 3x^{2} de 1 a 3 e depois dividir pelo comprimento do intervalo.

Passo 2

Substituímos a=1, b=3 e f(x)=3x^{2} na fórmula do valor médio:
V_{m}=\frac{1}{3-1}\int_{1}^{3}3x^{2}\,dx.

Passo 3

Para calcular a integral, encontramos uma primitiva de 3x^{2}. Sabemos que
\int 3x^{2}\,dx = x^{3} + C.
Logo, a integral definida é
\int_{1}^{3}3x^{2}\,dx = \bigl[x^{3}\bigr]_{1}^{3} = 3^{3}-1^{3}=27-1=26.

Passo 4

O comprimento do intervalo é 3-1=2. Dividindo o valor da integral pelo comprimento, obtemos
V_{m}=\frac{26}{2}=13.

Resposta

13

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