Valor de
(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x{5}-x{3}+2 x+1}{x^{4}-5 x^{3}+3})

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{5}-x^{3}+2x+1}{x^{4}-5x^{3}+3}.
O conteúdo é “limite de razão de polinômios no infinito”. Vamos comparar graus dos polinômios para resolver.

Passo 2

Dividimos numerador e denominador pelo maior grau em x, que é x^{4}:
\frac{x^{5}-x^{3}+2x+1}{x^{4}-5x^{3}+3} =\frac{\frac{x^{5}}{x^{4}}-\frac{x^{3}}{x^{4}}+\frac{2x}{x^{4}}+\frac{1}{x^{4}}} {\frac{x^{4}}{x^{4}}-\frac{5x^{3}}{x^{4}}+\frac{3}{x^{4}}} =\frac{x-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{4}}} {1-\frac{5}{x}+\frac{3}{x^{4}}}.

Passo 3

Agora, quando x\to\infty, todos os termos com 1/x, 1/x^3 e 1/x^4 tendem a zero. Logo
\frac{x-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{3}}+\frac{1}{x^{4}}} {1-\frac{5}{x}+\frac{3}{x^{4}}} \;\longrightarrow\; \frac{x+0+0+0}{1-0+0} = x.

Passo 4

Por fim, como x\to\infty, o valor de x também vai para \infty. Portanto o limite diverge positivamente.

Resposta

+\infty

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