Calcule a integral definida:
\int_{0}^{\pi / 2} \sin ^{2} x \cos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/2} \sin^{2}x\cos x \,dx
O conteúdo principal aqui é o método de substituição (u-substituição) em integrais. Vamos usar o fato de que a derivada de \sin x é \cos x, o que vai simplificar bastante a integral.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \sin x, \quad du = \cos x \,dx.
Quando x=0, temos u=\sin0=0; quando x=\pi/2, temos u=\sin(\pi/2)=1. Assim a integral original vira
\int_{0}^{\pi/2} \sin^{2}x\cos x \,dx = \int_{0}^{1} u^{2} \,du.

Passo 3

Agora é só integrar em u:
\int u^{2} \,du = \frac{u^{3}}{3} + C.

Passo 4

Avaliamo-la de u=0 a u=1:
\left.\frac{u^{3}}{3}\right|_{0}^{1} = \frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} = \frac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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