Valor de
(\lim _{x \rightarrow 2} \frac{e^{x-2}+3 x{2}+1}{x{3}-6})

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 2}\frac{e^{x-2}+3x^{2}+1}{x^{3}-6}.
Este é um problema de limites de funções racionais e exponenciais, onde primeiro verificamos se podemos aplicar substituição direta.

Passo 2

Verificamos o denominador em x=2:
2^{3}-6 = 8-6 = 2 \neq 0.
Como o denominador não zera, não há forma de indeterminação e a expressão é contínua em x=2.

Passo 3

Calculamos numerador e denominador em x=2:
\text{numerador} = e^{2-2} + 3\cdot 2^{2} + 1 = e^{0} + 12 + 1 = 1 + 12 + 1 = 14,
\text{denominador} = 2^{3} - 6 = 2.

Passo 4

Aplicando substituição direta, o limite vale
\frac{14}{2} = 7.

Resposta

7

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