Exemplo 9.4 A série formada a partir da sequência
não converge, pois
Passo 1
O enunciado define a sequência dos termos da série por
e a soma parcial por
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas: queremos ver se
converge quando
.
Passo 2
Separamos a soma em duas partes:
onde definimos
que é o
-ésimo número harmônico.
Passo 3
É conhecido que a série harmônica
diverge, ou seja
quando
. Além disso, a parcela
também cresce sem limite. Logo
quando
.
Passo 4
Como as somas parciais
crescem sem limite, a série não converge.
Resposta
A série diverge, pois
quando
.