Exemplo 9.4 A série formada a partir da sequência
\begin{gathered} a_{n}=1+\frac{1}{n} \\\ s_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left(1+\frac{1}{k}\right) \end{gathered}
não converge, pois

Passo 1

O enunciado define a sequência dos termos da série por
a_{n}=1+\frac{1}{n}
e a soma parcial por
s_{n}=\sum_{k=1}^{n}\Bigl(1+\frac{1}{k}\Bigr).
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas: queremos ver se (s_{n}) converge quando n\to\infty.

Passo 2

Separamos a soma em duas partes:
s_{n} =\sum_{k=1}^{n}1 \;+\;\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k} =n \;+\;H_{n},
onde definimos
H_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}
que é o n-ésimo número harmônico.

Passo 3

É conhecido que a série harmônica
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}
diverge, ou seja H_{n}\to\infty quando n\to\infty. Além disso, a parcela n também cresce sem limite. Logo
s_{n}=n+H_{n}\;\longrightarrow\;\infty
quando n\to\infty.

Passo 4

Como as somas parciais s_{n} crescem sem limite, a série não converge.

Resposta

A série diverge, pois s_{n}=n+H_{n}\to\infty quando n\to\infty.

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