Calcule a integral definida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral definida aí:
Esse exercício envolve cálculo integral, mais especificamente integrais que têm funções racionais com quadrados no denominador. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica de integração que envolve funções trigonométricas, como a substituição trigonométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral. Observe que o denominador é
. Podemos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar $ x = 2 \tan \theta $. Assim, $ dx = 2 \sec^{2} \theta , d\theta $.
Passo 3
Substituindo $ x = 2 \tan \theta $ na integral, temos:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, precisamos integrar $ \cos^{2} \theta $. Lembre que:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, precisamos voltar para a variável original $ x $. Lembrando que $ x = 2 \tan \theta $, então:
E ( \sin(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^{2} \theta} = \frac{2(x/2)}{1 + (x/2)^{2}} = \frac{x}{1 + \frac{x^{2}}{4}} = \frac{4x}{4 + x^{2}}
]
]
Então, substituindo de volta:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração de -2 a 2:
Calculando em $ x = 2 $:
E em $ x = -2 $:
Resposta
Somando as duas partes:
Então, o valor da integral definida é: