Calcule a integral definida.
integral-2^2 d x(4+x^2)^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral definida aí:
integral-2^2 dx(4 + x^2)^2
Esse exercício envolve cálculo integral, mais especificamente integrais que têm funções racionais com quadrados no denominador. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica de integração que envolve funções trigonométricas, como a substituição trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral. Observe que o denominador é (4 + x^2)^2. Podemos fazer uma substituição para facilitar a integração. Vamos deixar $ x = 2 \tan \theta $. Assim, $ dx = 2 \sec^{2} \theta , d\theta $.

Passo 3

Substituindo $ x = 2 \tan \theta $ na integral, temos:
x = 2 tan theta
Então, a integral fica:
4 + x^2 = 4 + 4 tan^2 theta = 4 (1 + tan^2 theta) = 4 sec^2 theta

Passo 4

Agora, precisamos integrar $ \cos^{2} \theta $. Lembre que:
cos^2 theta
Então, a integral fica:
cos^2 theta = 1 + cos(2theta)2

Passo 5

Agora, precisamos voltar para a variável original $ x $. Lembrando que $ x = 2 \tan \theta $, então:
x
E ( \sin(2\theta) = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^{2} \theta} = \frac{2(x/2)}{1 + (x/2)^{2}} = \frac{x}{1 + \frac{x^{2}}{4}} = \frac{4x}{4 + x^{2}}
]
Então, substituindo de volta:
x = 2 tan theta

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de -2 a 2:
[ 116 arctan(x2) + 116 cdot 4x4 + x^2 ]-2^2
Calculando em $ x = 2 $:
x = 2
E em $ x = -2 $:
116 arctan(1) + 116 cdot 88 = 116 cdot pi4 + 116 = pi64 + 116

Resposta

Somando as duas partes:
( pi64 + 116 ) - ( -pi64 - 116 ) = 18 + pi32
Então, o valor da integral definida é:
18 + pi32

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