Calcule a integral definida.
integral1^2 raizx^2-1x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida:
integral1^2 raizx^2-1x , dx
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integração de funções que envolvem expressões irracionais. Para resolver isso, vamos usar substituição trigonométrica, que é uma técnica que facilita a integração de funções envolvendo raízes quadradas de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
x = sec(theta)
Isso significa que theta é o ângulo cujo secante é x. A razão para essa substituição é que ela simplifica a expressão raizx^2 - 1.

Passo 3

Agora, vamos encontrar dx em termos de theta. Sabemos que:
ddtheta sec(theta) = sec(theta)tan(theta)
Portanto,
dx = sec(theta)tan(theta) , dtheta

Passo 4

Substituindo x e dx na integral original:
integral raizsec^2(theta) - 1sec(theta) cdot sec(theta)tan(theta) , dtheta
Simplificando dentro da raiz:
raizsec^2(theta) - 1 = raiztan^2(theta) = tan(theta)
Então, a integral fica:
integral tan(theta)sec(theta) cdot sec(theta)tan(theta) , dtheta = integral tan^2(theta) , dtheta

Passo 5

Agora, precisamos integrar tan^2(theta). Sabemos que:
tan^2(theta) = sec^2(theta) - 1
Então, a integral se torna:
integral (sec^2(theta) - 1) , dtheta = integral sec^2(theta) , dtheta - integral 1 , dtheta
Sabemos que:
integral sec^2(theta) , dtheta = tan(theta) + C
integral 1 , dtheta = theta + C
Portanto,
integral tan^2(theta) , dtheta = tan(theta) - theta + C

Passo 6

Agora, vamos voltar para as variáveis originais. Lembrando que x = sec(theta), então:
E,
theta = arcsec(x) = arccos(1x)
Então, a solução da integral indefinida é:
tan(theta) = raizx^2 - 1

Passo 7

Como estamos lidando com uma integral definida de 1 a 2, precisamos avaliar essa expressão nos limites de integração.
Primeiro, vamos encontrar os valores de theta correspondentes a x = 1 e x = 2:
  • Quando x = 1:
1 = sec(theta) implies theta = 0
  • Quando x = 2:
2 = sec(theta) implies theta = pi3

Passo 8

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
[ tan(theta) - theta ]0^pi3 = ( tan(pi3) - pi3 ) - ( tan(0) - 0 )
Sabemos que:
tan(pi3) = raiz3
tan(0) = 0
Então,
( raiz3 - pi3 ) - (0 - 0) = raiz3 - pi3

Resposta

A integral definida é igual a raiz3 - dfracpi3.

Exercícios relacionados