Calcule a integral definida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida:
Aqui, estamos lidando com cálculo integral, mais especificamente com integração de funções que envolvem expressões irracionais. Para resolver isso, vamos usar substituição trigonométrica, que é uma técnica que facilita a integração de funções envolvendo raízes quadradas de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição trigonométrica. Vamos definir:
Isso significa que
é o ângulo cujo secante é
. A razão para essa substituição é que ela simplifica a expressão
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar
em termos de
. Sabemos que:
Portanto,
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, precisamos integrar
. Sabemos que:
Então, a integral se torna:
Sabemos que:
Portanto,
Passo 6
Agora, vamos voltar para as variáveis originais. Lembrando que
, então:
E,
Então, a solução da integral indefinida é:
Passo 7
Como estamos lidando com uma integral definida de 1 a 2, precisamos avaliar essa expressão nos limites de integração.
Primeiro, vamos encontrar os valores de
correspondentes a
e
:
- Quando
:
- Quando
:
Passo 8
Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo:
Sabemos que:
Então,
Resposta
A integral definida é igual a
.