Calcule a integral definida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida juntos! O enunciado pede para calcular a integral de $ \frac{x{2}}{\sqrt{9-x{2}}} $ de 0 até $ \frac{3}{2} $. Vamos usar técnicas de cálculo integral, especificamente substituição trigonométrica, já que temos uma raiz quadrada envolvendo $ 9 - x^{2} $.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral usando substituição trigonométrica. Observamos que $ \sqrt{9 - x^{2}} $ se parece com a identidade $ \sqrt{a^{2} - x^{2}} $, onde $ a = 3 $. Então, podemos usar a substituição $ x = 3 \sin\theta $. Isso facilita a integração porque transforma a raiz quadrada em uma expressão trigonométrica mais simples.
Passo 3
Com $ x = 3 \sin\theta $, precisamos encontrar $ dx $. Derivando ambos os lados em relação a $ \theta $, temos:
Agora, substituímos $ x $ e $ dx $ na integral original.
Passo 4
Substituindo na integral, ficamos com:
Simplificando:
Os $ 3 \cos\theta $ no numerador e denominador se cancelam.
Passo 5
A integral simplifica para:
Agora, usamos a identidade trigonométrica $ \sin^{2}\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} $ para facilitar a integração:
Passo 6
Integrando termo a termo:
Como estamos calculando uma integral definida, descartamos a constante $ C $ e avaliamos de $ \theta = 0 $ a $ \theta = \arcsin\left(\frac{3/2}{3}\right) = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} $.
Passo 7
Substituindo os limites:
Sabemos que $ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $ e $ \sin(0) = 0 $, então:
Passo 8
Simplificando:
Resposta
O valor da integral definida é $ \frac{3\pi}{4} - \frac{9\sqrt{3}}{8} $.