Calcule a integral definida.
integral0^3 / 2 x^2raiz9-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida juntos! O enunciado pede para calcular a integral de $ \frac{x{2}}{\sqrt{9-x{2}}} $ de 0 até $ \frac{3}{2} $. Vamos usar técnicas de cálculo integral, especificamente substituição trigonométrica, já que temos uma raiz quadrada envolvendo $ 9 - x^{2} $.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral usando substituição trigonométrica. Observamos que $ \sqrt{9 - x^{2}} $ se parece com a identidade $ \sqrt{a^{2} - x^{2}} $, onde $ a = 3 $. Então, podemos usar a substituição $ x = 3 \sin\theta $. Isso facilita a integração porque transforma a raiz quadrada em uma expressão trigonométrica mais simples.

Passo 3

Com $ x = 3 \sin\theta $, precisamos encontrar $ dx $. Derivando ambos os lados em relação a $ \theta $, temos:
x = 3 sintheta
Agora, substituímos $ x $ e $ dx $ na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral, ficamos com:
integral (3 sintheta)^2raiz9 - (3 sintheta)^2 cdot 3 costheta , dtheta
Simplificando:
integral 9 sin^2thetaraiz9 - 9 sin^2theta cdot 3 costheta , dtheta
integral 9 sin^2theta3 costheta cdot 3 costheta , dtheta
Os $ 3 \cos\theta $ no numerador e denominador se cancelam.

Passo 5

A integral simplifica para:
integral 9 sin^2theta , dtheta
Agora, usamos a identidade trigonométrica $ \sin^{2}\theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} $ para facilitar a integração:
sin^2theta = 1 - cos(2theta)2

Passo 6

Integrando termo a termo:
92 ( theta - sin(2theta)2 ) + C
Como estamos calculando uma integral definida, descartamos a constante $ C $ e avaliamos de $ \theta = 0 $ a $ \theta = \arcsin\left(\frac{3/2}{3}\right) = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} $.

Passo 7

Substituindo os limites:
92 [ ( pi6 - sin(pi3)2 ) - ( 0 - sin(0)2 ) ]
Sabemos que $ \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} $ e $ \sin(0) = 0 $, então:
sin(pi3) = raiz32

Passo 8

Simplificando:
92 cdot pi6 - 92 cdot raiz34
3pi4 - 9raiz38

Resposta

O valor da integral definida é $ \frac{3\pi}{4} - \frac{9\sqrt{3}}{8} $.

Exercícios relacionados