Calcule a integral definida.
integral1^4 1x raizx^2+9 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral definida:
integral1^4 1x raizx^2+9 , dx
Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente técnicas de substituição trigonométrica, porque temos uma expressão com $ \sqrt{x^{2} + 9} $. Precisamos entender como simplificar a integral para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a integral tem a forma:
integral 1x raizx^2+a^2 , dx
onde $ a = 3 $. Nesse caso, uma boa estratégia é usar substituição trigonométrica. Vamos fazer uma substituição que simplifica a expressão dentro da raiz.

Passo 3

Vamos definir:
x = a tan theta onde a = 3
Então:
x = 3 tan theta
Agora, precisamos achar $ dx $ em termos de $ \theta $:
dx

Passo 4

Substituindo $ x = 3 \tan \theta $ na expressão $ \sqrt{x^{2} + 9} $:
x = 3 tan theta

Passo 5

Agora, substituímos todas as partes na integral original:
integral 1x raizx^2+9 , dx = integral 13 tan theta cdot 3 sec theta cdot 3 sec^2 theta , dtheta
Simplificando:
integral 19 tan theta sec theta cdot 3 sec^2 theta , dtheta = integral 3 sec^2 theta9 tan theta sec theta , dtheta = integral sec theta3 tan theta , dtheta

Passo 6

Lembrando que $ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} $ e $ \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} $, podemos reescrever a integral:
tan theta = sin thetacos theta

Passo 7

A integral de $ \csc \theta $ é:
csc theta
Então:
integral csc theta , dtheta = ln|tan theta2| + C

Passo 8

Agora, precisamos voltar para a variável original $ x $. Lembrando que $ x = 3 \tan \theta $, podemos desenhar um triângulo retângulo para encontrar $ \theta $:
x
Usando identidades trigonométricas, podemos expressar $ \tan \frac{\theta}{2} $ em termos de $ x $:
x = 3 tan theta

Passo 9

Substituindo de volta:
13 ln|x3 + raizx^2 + 9| + C
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 4.

Passo 10

Calculando entre 1 e 4:
13 ln(x3 + raizx^2 + 9) |1^4
Substituindo os valores:
Para $ x = 4 $:
x = 4
Para $ x = 1 $:
13 ln(43 + raiz16 + 9) = 13 ln(43 + 5) = 13 ln(48) = 13 ln(12)

Resposta

A integral definida é:
13 ln(12) - 13 ln(13 + raiz10) = 13 ln(3 + raiz102)
Portanto, o valor final da integral é:
13 ln(3 + raiz102)

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