Calcule a integral definida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular uma integral definida:
Vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente técnicas de substituição trigonométrica, porque temos uma expressão com $ \sqrt{x^{2} + 9} $. Precisamos entender como simplificar a integral para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a integral tem a forma:
onde $ a = 3 $. Nesse caso, uma boa estratégia é usar substituição trigonométrica. Vamos fazer uma substituição que simplifica a expressão dentro da raiz.
Passo 3
Vamos definir:
Então:
Agora, precisamos achar $ dx $ em termos de $ \theta $:
Passo 4
Substituindo $ x = 3 \tan \theta $ na expressão $ \sqrt{x^{2} + 9} $:
Passo 5
Agora, substituímos todas as partes na integral original:
Simplificando:
Passo 6
Lembrando que $ \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} $ e $ \sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} $, podemos reescrever a integral:
Passo 7
A integral de $ \csc \theta $ é:
Então:
Passo 8
Agora, precisamos voltar para a variável original $ x $. Lembrando que $ x = 3 \tan \theta $, podemos desenhar um triângulo retângulo para encontrar $ \theta $:
Usando identidades trigonométricas, podemos expressar $ \tan \frac{\theta}{2} $ em termos de $ x $:
Passo 9
Substituindo de volta:
Agora, aplicamos os limites de integração de 1 a 4.
Passo 10
Calculando entre 1 e 4:
Substituindo os valores:
Para $ x = 4 $:
Para $ x = 1 $:
Resposta
A integral definida é:
Portanto, o valor final da integral é: