Calcule a integral definida.
integral0^5 raiz25-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: integral0^5 raiz25 - x^2 , dx. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente calculando a área sob a curva da função raiz25 - x^2 entre os pontos 0 e 5. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição trigonométrica, que é útil quando a função dentro da raiz envolve uma expressão quadrática.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz: raiz25 - x^2. Perceba que isso se parece com a identidade trigonométrica $ \sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta = 1 $. Para facilitar a integral, fazemos a substituição:
sin^2theta + cos^2theta = 1
Essa substituição ajuda a transformar a expressão da raiz em termos de coseno, o que simplifica a integral.

Passo 3

Agora, vamos encontrar $ dx $ em termos de $ d\theta $:
dx
Substituindo $ x $ e $ dx $ na integral original, temos:
dtheta
Simplificando dentro da raiz:
dx = 5 costheta , dtheta

Passo 4

Agora, a integral fica:
integral 5costheta cdot 5costheta , dtheta = 25 integral cos^2theta , dtheta
Para integrar cos^2theta, usamos a identidade trigonométrica:
cos^2theta = 1 + cos(2theta)2
Então, substituímos na integral:
25 integral 1 + cos(2theta)2 , dtheta = 252 integral (1 + cos(2theta)) , dtheta

Passo 5

Integrando termo a termo:
252 ( integral 1 , dtheta + integral cos(2theta) , dtheta )
Calculando as integrais:
integral 1 , dtheta = theta
integral cos(2theta) , dtheta = sin(2theta)2
Então, temos:
252 ( theta + sin(2theta)2 ) + C

Passo 6

Agora, precisamos voltar à variável original $ x $. Lembrando que fizemos $ x = 5\sin\theta $, então:
x
x = 5sintheta
E usando a identidade $ \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta $:
sintheta = x5
Substituindo de volta:
theta = arcsin(x5)
sin(2theta) = 2sinthetacostheta

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 5:
[ 252 arcsin(x5) + xraiz25 - x^2 ]0^5
Calculando para $ x = 5 $:
x = 5
arcsin(55) = arcsin(1) = pi2
Então:
5raiz25 - 25 = 5 cdot 0 = 0
Calculando para $ x = 0 $:
252 cdot pi2 + 0 = 25pi4
x = 0
Então, a diferença é:
arcsin(0) = 0

Resposta

O valor da integral definida é 25pi4.

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