Calcule a integral definida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida:
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente calculando a área sob a curva da função
entre os pontos 0 e 5. Para resolver isso, vamos usar uma técnica chamada substituição trigonométrica, que é útil quando a função dentro da raiz envolve uma expressão quadrática.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
. Perceba que isso se parece com a identidade trigonométrica $ \sin^{2}\theta + \cos^{2}\theta = 1 $. Para facilitar a integral, fazemos a substituição:
Essa substituição ajuda a transformar a expressão da raiz em termos de coseno, o que simplifica a integral.
Passo 3
Agora, vamos encontrar $ dx $ em termos de $ d\theta $:
Substituindo $ x $ e $ dx $ na integral original, temos:
Simplificando dentro da raiz:
Passo 4
Agora, a integral fica:
Para integrar
, usamos a identidade trigonométrica:
Então, substituímos na integral:
Passo 5
Integrando termo a termo:
Calculando as integrais:
Então, temos:
Passo 6
Agora, precisamos voltar à variável original $ x $. Lembrando que fizemos $ x = 5\sin\theta $, então:
E usando a identidade $ \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta $:
Substituindo de volta:
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 5:
Calculando para $ x = 5 $:
Então:
Calculando para $ x = 0 $:
Então, a diferença é:
Resposta
O valor da integral definida é
.