Calcule a integral definida
, onde .
Usando áreas;
Usando áreas;
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer. A gente quer calcular a integral definida
, onde a função
muda dependendo do valor de
. Essa é uma função por partes, ou seja, diferentes expressões para diferentes intervalos de
:
- Para
: - Para
: - Para
:
Vamos precisar dividir a integral nesses três intervalos e calcular a área em cada parte separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função muda de expressão dentro do intervalo de integração
. As mudanças ocorrem em
e
. Então, a gente vai dividir a integral em três partes:
- De
a : - De
a : - De
a :
Essa divisão nos ajuda a simplificar o cálculo, porque em cada intervalo a função tem uma expressão mais simples.
Passo 3
Vamos calcular a primeira parte:
.
Aqui, estamos integrando
de
a
. A integral de
é
e a integral de
é
. Então,
Então, a área dessa parte é
.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda parte:
.
Aqui, estamos integrando a constante
de
a
. A integral de uma constante
é
. Então,
A área dessa parte é
.
Passo 5
Por fim, vamos calcular a terceira parte:
.
Aqui, estamos integrando
de
a
. A integral de
é
e a integral de
é
. Então,
A área dessa parte é
.
Resposta
Somando todas as partes, temos:
Então, o valor da integral definida
é
.