Calcule a integral definida integral-2^6 f(x) d x, onde .
Usando áreas;

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer. A gente quer calcular a integral definida integral-2^6 f(x) , dx, onde a função f(x) muda dependendo do valor de x. Essa é uma função por partes, ou seja, diferentes expressões para diferentes intervalos de x:
  • Para x <= 1: f(x) = x + 1
  • Para 1 < x <= 2: f(x) = 2
  • Para x > 2: f(x) = 4 - x
Vamos precisar dividir a integral nesses três intervalos e calcular a área em cada parte separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde a função muda de expressão dentro do intervalo de integração [-2, 6]. As mudanças ocorrem em x = 1 e x = 2. Então, a gente vai dividir a integral em três partes:
  1. De -2 a 1: f(x) = x + 1
  2. De 1 a 2: f(x) = 2
  3. De 2 a 6: f(x) = 4 - x
Essa divisão nos ajuda a simplificar o cálculo, porque em cada intervalo a função tem uma expressão mais simples.

Passo 3

Vamos calcular a primeira parte: integral-2^1 (x + 1) , dx.
Aqui, estamos integrando x + 1 de -2 a 1. A integral de x é x^22 e a integral de 1 é x. Então,
integral-2^1 (x + 1) , dx = [ x^22 + x ]-2^1 = ( 1^22 + 1 ) - ( (-2)^22 + (-2) ) = ( 12 + 1 ) - ( 42 - 2 ) = 32 - (2 - 2) = 32
Então, a área dessa parte é 32.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte: integral1^2 2 , dx.
Aqui, estamos integrando a constante 2 de 1 a 2. A integral de uma constante c é c cdot x. Então,
integral1^2 2 , dx = [ 2x ]1^2 = 2(2) - 2(1) = 4 - 2 = 2
A área dessa parte é 2.

Passo 5

Por fim, vamos calcular a terceira parte: integral2^6 (4 - x) , dx.
Aqui, estamos integrando 4 - x de 2 a 6. A integral de 4 é 4x e a integral de -x é -x^22. Então,
integral2^6 (4 - x) , dx = [ 4x - x^22 ]2^6 = ( 4(6) - 6^22 ) - ( 4(2) - 2^22 ) = (24 - 18) - (8 - 2) = 6 - 6 = 0
A área dessa parte é 0.

Resposta

Somando todas as partes, temos:
32 + 2 + 0 = 72
Então, o valor da integral definida integral-2^6 f(x) , dx é 72.

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