Calcule a integral definida.
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A questão pede para calcular a integral definida de
de
até
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e geometria, já que estamos lidando com a área sob uma curva que representa parte de um círculo. Vamos precisar aplicar uma substituição trigonométrica para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, observamos que a expressão dentro da raiz,
, se assemelha à equação de um círculo. Isso nos dá uma pista de que uma substituição trigonométrica pode simplificar a integral. Vamos fazer a seguinte substituição:
Passo 3
Com essa substituição, precisamos também calcular
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Simplificando dentro da raiz:
Como estamos integrando de
até
,
varia de
até
, onde
é positiva. Portanto, podemos remover o valor absoluto:
Passo 5
Substituindo de volta na integral, temos:
Passo 6
Agora, precisamos integrar
. Sabemos que:
Então, a integral se torna:
Passo 7
Integrando termo a termo:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar para integrais definidas.
Passo 8
Agora, precisamos voltar às variáveis originais. Lembrando que
, então:
E:
Passo 9
Aplicando os limites de integração. Quando
:
Quando
:
Passo 10
Agora, substituímos os limites na expressão integrada:
Calculando em
:
Calculando em
:
Passo 11
Finalmente, subtraímos os valores:
Resposta
A integral definida é igual a
.