Calcule a integral definida.
integral-raiz3^0 raiz3-x^2 d x

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A questão pede para calcular a integral definida de raiz3 - x^2 de -raiz3 até 0. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e geometria, já que estamos lidando com a área sob uma curva que representa parte de um círculo. Vamos precisar aplicar uma substituição trigonométrica para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, observamos que a expressão dentro da raiz, 3 - x^2, se assemelha à equação de um círculo. Isso nos dá uma pista de que uma substituição trigonométrica pode simplificar a integral. Vamos fazer a seguinte substituição:
x = raiz3 sin theta

Passo 3

Com essa substituição, precisamos também calcular dx. Derivando ambos os lados em relação a theta:
dx = raiz3 cos theta dtheta

Passo 4

Agora, substituímos x e dx na integral original:
integral raiz3 - (raiz3 sin theta)^2 cdot raiz3 cos theta dtheta
Simplificando dentro da raiz:
raiz3 - 3 sin^2 theta = raiz3(1 - sin^2 theta) = raiz3 cos^2 theta = raiz3 |cos theta|
Como estamos integrando de -raiz3 até 0, theta varia de -pi2 até 0, onde cos theta é positiva. Portanto, podemos remover o valor absoluto:
raiz3 cos theta

Passo 5

Substituindo de volta na integral, temos:
integral raiz3 cos theta cdot raiz3 cos theta dtheta = 3 integral cos^2 theta dtheta

Passo 6

Agora, precisamos integrar cos^2 theta. Sabemos que:
cos^2 theta = 1 + cos 2theta2
Então, a integral se torna:
3 integral 1 + cos 2theta2 dtheta = 32 integral (1 + cos 2theta) dtheta

Passo 7

Integrando termo a termo:
32 ( theta + sin 2theta2 ) + C
Onde C é a constante de integração, que não precisamos considerar para integrais definidas.

Passo 8

Agora, precisamos voltar às variáveis originais. Lembrando que x = raiz3 sin theta, então:
theta = arcsin(xraiz3)
E:
sin 2theta = 2 sin theta cos theta = 2 cdot xraiz3 cdot raiz3 - x^2raiz3 = 2x raiz3 - x^23

Passo 9

Aplicando os limites de integração. Quando x = -raiz3:
theta = arcsin(-raiz3raiz3) = arcsin(-1) = -pi2
Quando x = 0:
theta = arcsin(0) = 0

Passo 10

Agora, substituímos os limites na expressão integrada:
32 [ theta + sin 2theta2 ]-pi2^0
Calculando em 0:
32 ( 0 + sin 02 ) = 0
Calculando em -pi2:
32 ( -pi2 + sin (-pi)2 ) = 32 ( -pi2 + 0 ) = -3pi4

Passo 11

Finalmente, subtraímos os valores:
0 - ( -3pi4 ) = 3pi4

Resposta

A integral definida é igual a 3pi4.

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