Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida:
Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, onde buscamos calcular áreas sob curvas. Para resolver essa integral, vamos utilizar uma técnica chamada substituição trigonométrica, que é útil quando lidamos com expressões que envolvem raízes quadradas de polinômios.
Passo 2
Observando a expressão dentro da raiz, , percebemos que ela se assemelha à equação de um círculo: . No nosso caso, , então a curva representa a metade superior de um círculo de raio 2.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição trigonométrica. Definimos:
Diferenciando ambos os lados em relação a , temos:
Passo 4
Agora, substituímos na expressão dentro da raiz:
Passo 5
Substituindo e na integral original, temos:
Agora, precisamos determinar os novos limites de integração. Quando :
E quando :
Passo 6
A integral agora fica:
Para integrar , usamos a identidade trigonométrica:
Passo 7
Substituindo a identidade na integral:
Agora, podemos integrar termo a termo.
Passo 8
Integrando:
A primeira integral é simplesmente e a segunda integral de é .