Calcule a integral definida.
integral-1^1 raiz4-x^2 d x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida:
integral-1^1 raiz4 - x^2 , dx
Isso faz parte do estudo de Cálculo Integral, onde buscamos calcular áreas sob curvas. Para resolver essa integral, vamos utilizar uma técnica chamada substituição trigonométrica, que é útil quando lidamos com expressões que envolvem raízes quadradas de polinômios.

Passo 2

Observando a expressão dentro da raiz, raiz4 - x^2, percebemos que ela se assemelha à equação de um círculo: x^2 + y^2 = r^2. No nosso caso, r = 2, então a curva raiz4 - x^2 representa a metade superior de um círculo de raio 2.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição trigonométrica. Definimos:
x = 2 sin theta
Diferenciando ambos os lados em relação a theta, temos:
dx = 2 cos theta , dtheta

Passo 4

Agora, substituímos x na expressão dentro da raiz:
raiz4 - x^2 = raiz4 - (2 sin theta)^2 = raiz4 - 4 sin^2 theta = raiz4(1 - sin^2 theta) = 2 cos theta

Passo 5

Substituindo x e dx na integral original, temos:
integral-1^1 raiz4 - x^2 , dx = integralthetaa^thetab 2 cos theta cdot 2 cos theta , dtheta = 4 integralthetaa^thetab cos^2 theta , dtheta
Agora, precisamos determinar os novos limites de integração. Quando x = -1:
-1 = 2 sin theta Rightarrow sin theta = -12 Rightarrow thetaa = -pi6
E quando x = 1:
1 = 2 sin theta Rightarrow sin theta = 12 Rightarrow thetab = pi6

Passo 6

A integral agora fica:
4 integral-pi/6^pi/6 cos^2 theta , dtheta
Para integrar cos^2 theta, usamos a identidade trigonométrica:
cos^2 theta = 1 + cos 2theta2

Passo 7

Substituindo a identidade na integral:
4 integral-pi/6^pi/6 1 + cos 2theta2 , dtheta = 2 integral-pi/6^pi/6 (1 + cos 2theta) , dtheta
Agora, podemos integrar termo a termo.

Passo 8

Integrando:
2 [ integral-pi/6^pi/6 1 , dtheta + integral-pi/6^pi/6 cos 2theta , dtheta ]
A primeira integral é simplesmente theta e a segunda integral de cos 2theta é sin 2theta2.

Passo 9

Calculando as integrais:
2 [ theta |-pi/6^pi/6 + sin 2theta2 |-pi/6^pi/6 ] = 2 [ ( pi6 - (-pi6) ) + ( sin (pi/3)2 - sin (-pi/3)2 ) ]
Simplificando:
2 [ pi3 + raiz3/2 + raiz3/22 ] = 2 [ pi3 + raiz32 ]

Passo 10

Multiplicando por 2:
2 cdot pi3 + 2 cdot raiz32 = 2pi3 + raiz3

Resposta

O valor da integral definida é 2pi3 + raiz3.

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