Calcule a integral indefinida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral indefinida juntos! A gente precisa calcular:
Esse exercício pertence à área de Cálculo Integral, mais especificamente, técnicas de integração envolvendo funções racionais e potências. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir para facilitar a integração. Observamos que dentro da raiz temos
. Vamos chamar essa expressão de
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
para encontrar
:
Perceba que na nossa integral original não temos o termo
, então precisamos ajustar a substituição para que tudo se encaixe direitinho.
Passo 4
Vamos resolver a expressão para
:
Mas ainda temos um
no denominador, o que complicaria um pouco. Para eliminar isso, vamos expressar
em termos de
:
Sabemos que:
Mas essa abordagem pode deixar a integral ainda mais complicada. Então, vamos tentar outra técnica: uma substituição trigonométrica.
Passo 5
Vamos reescrever a expressão
para facilitar a substituição trigonométrica:
Essa forma nos lembra a identidade trigonométrica para a diferença de quadrados, o que sugere usar substituição que envolva a secante ou a hiperbólica.
Passo 6
Optando pela substituição hiperbólica, já que a expressão é do tipo
, podemos definir:
Mas isso pode complicar as coisas. Então, vamos simplificar usando uma substituição direta sem trigonometria.
Passo 7
Vamos voltar à substituição inicial e ajustar a integral. Temos:
Agora, vamos reescrever a integral em termos de
:
Mas ainda sobra o
. Vamos resolver isso usando a expressão de
:
Substituindo de volta:
Isso está ficando complicado, então vamos buscar uma abordagem mais direta usando uma fórmula de integração padrão.
Passo 8
A integral que temos se parece com a forma:
Sabemos que uma fórmula padrão para essa integral é:
Nesse caso,
e
, então
e
.
Passo 9
Aplicando a fórmula padrão à nossa integral:
Resposta
A integral indefinida é:
Onde
é a constante de integração.