Calcule a integral indefinida.
integral d x(4 x^2-25)^3 / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida juntos! A gente precisa calcular:
integral dx(4x^2-25)^3 / 2
Esse exercício pertence à área de Cálculo Integral, mais especificamente, técnicas de integração envolvendo funções racionais e potências. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a expressão dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da expressão que podemos substituir para facilitar a integração. Observamos que dentro da raiz temos 4x^2 - 25. Vamos chamar essa expressão de u:
u = 4x^2 - 25

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar du:
dudx = 8x Rightarrow du = 8x , dx
Perceba que na nossa integral original não temos o termo x , dx, então precisamos ajustar a substituição para que tudo se encaixe direitinho.

Passo 4

Vamos resolver a expressão para dx:
dx = du8x
Mas ainda temos um x no denominador, o que complicaria um pouco. Para eliminar isso, vamos expressar x em termos de u:
Sabemos que:
u = 4x^2 - 25 Rightarrow 4x^2 = u + 25 Rightarrow x^2 = u + 254 Rightarrow x = raizu + 254
Mas essa abordagem pode deixar a integral ainda mais complicada. Então, vamos tentar outra técnica: uma substituição trigonométrica.

Passo 5

Vamos reescrever a expressão 4x^2 - 25 para facilitar a substituição trigonométrica:
4x^2 - 25 = (2x)^2 - 5^2
Essa forma nos lembra a identidade trigonométrica para a diferença de quadrados, o que sugere usar substituição que envolva a secante ou a hiperbólica.

Passo 6

Optando pela substituição hiperbólica, já que a expressão é do tipo a^2x^2 - b^2, podemos definir:
2x = 5cosh theta Rightarrow x = 52 cosh theta
Mas isso pode complicar as coisas. Então, vamos simplificar usando uma substituição direta sem trigonometria.

Passo 7

Vamos voltar à substituição inicial e ajustar a integral. Temos:
u = 4x^2 - 25 Rightarrow du = 8x , dx Rightarrow x , dx = du8
Agora, vamos reescrever a integral em termos de u:
integral dx(4x^2 -25)^3/2 = integral 1u^3/2 cdot du8x
Mas ainda sobra o x. Vamos resolver isso usando a expressão de u:
x^2 = u + 254 Rightarrow x = raizu + 254 = raizu + 252
Substituindo de volta:
integral 1u^3/2 cdot du8 cdot raizu + 252 = integral 1u^3/2 cdot du4 raizu + 25
Isso está ficando complicado, então vamos buscar uma abordagem mais direta usando uma fórmula de integração padrão.

Passo 8

A integral que temos se parece com a forma:
Sabemos que uma fórmula padrão para essa integral é:
Nesse caso, integral dx(a^2x^2 - b^2)^3/2 e integral dx(a^2x^2 - b^2)^3/2 = xb^2 raiza^2x^2 - b^2 + C , então a^2 = 4 e b^2 = 25.

Passo 9

Aplicando a fórmula padrão à nossa integral:

Resposta

A integral indefinida é:
Onde integral dx(4x^2-25)^3 / 2 = 2x25 raiz4x^2 - 25 + C é a constante de integração.

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