Calcule a integral indefinida.
integral x raiz25+x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral indefinida integral x raiz25+x^2 , dx. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma função polinomial e uma raiz quadrada, o que sugere que podemos usar a técnica de substituição para simplificar a resolução. Vamos precisar lembrar como funciona a substituição em integrais e como aplicar fórmulas básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão dentro da raiz. Vamos definir:
u = 25 + x^2
Agora, vamos derivar u em relação a x para encontrar du:
dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx

Passo 3

Observe que na integral original temos x , dx, que aparece na expressão de du. Podemos rearranjar a expressão de du para substituir na integral:
x , dx = du2

Passo 4

Substituindo u e x , dx na integral original, temos:
integral x raiz25 + x^2 , dx = integral raizu cdot du2 = 12 integral u^12 , du

Passo 5

Agora, vamos integrar u^12 em relação a u:
12 integral u^12 , du = 12 cdot u^3232 + C = 12 cdot 23 u^32 + C = 13 u^32 + C

Passo 6

Finalmente, voltamos à variável original x substituindo u = 25 + x^2:
13 u^32 + C = 13 (25 + x^2)^32 + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral x raiz25+x^2 , dx = 13 (25 + x^2)^32 + C

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