Calcule a integral definida.
integral0^3 xraiz1+x^2 d x

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver uma integral definida aqui: integral0^3 xraiz1+x^2 , dx. Isso faz parte do cálculo integral, onde aprendemos a encontrar áreas sob curvas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que é uma forma de simplificar a integral para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável mais simples. Olha só, no denominador temos raiz1 + x^2. Vamos chamar essa expressão de u.
Então, seja:
u = 1 + x^2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para poder substituir dx. Calculando a derivada:
dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx
Daí, isolamos dx:
dx = du2x

Passo 4

Vamos substituir u e dx na nossa integral original. Ficaria assim:
integral0^3 xraiz1+x^2 , dx = integralu(0)^u(3) xraizu cdot du2x
Observa que o x no numerador e no denominador se cancelam:
= integralu(0)^u(3) 12raizu , du

Passo 5

Agora, vamos atualizar os limites de integração para u. Quando x = 0:
u = 1 + 0^2 = 1
E quando x = 3:
u = 1 + 3^2 = 10
Então, nossa integral fica:
12 integral1^10 u^-1/2 , du

Passo 6

Hora de integrar! A integral de u^-1/2 é:
integral u^-1/2 , du = 2u^1/2 + C
Aplicando isso na nossa expressão:
12 cdot 2u^1/2 |1^10 = u^1/2 |1^10 = raizu |1^10

Passo 7

Finalmente, aplicamos os limites de integração:
raiz10 - raiz1 = raiz10 - 1

Resposta

O valor da integral definida é raiz10 - 1.

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