Calcule a integral indefinida.
integral d x(x^2+1)^3 / 2

Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular a integral indefinida de 1(x^2+1)^3/2 em relação a x. Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo expressões com poderes de polinômios no denominador. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica de substituição que simplifique a expressão para que possamos integrar mais facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para facilitar a integração. Observando (x^2+1)^3/2, vemos que x^2+1 está elevado a uma potência. Uma boa estratégia é fazer uma substituição que envolva essa parte. Vamos chamar u = x, o que parece simples, mas na verdade precisamos de uma substituição diferente.

Passo 3

Vamos tentar uma substituição que envolva a expressão no denominador. Vamos definir u = x. Então, a derivada de u em relação a x é du = dx. Isso parece não simplificar muito a integral, então precisamos tentar outra abordagem.

Passo 4

Uma técnica mais eficaz aqui é reconhecer que a derivada de xraizx^2+1 nos dá algo parecido com a nossa função a ser integrada. Vamos lembrar que:
ddx(xraizx^2+1) = 1 cdot raizx^2+1 - x cdot 12(x^2+1)^-1/2 cdot 2x(x^2+1)
Simplificando essa expressão, obtemos:
Isso mostra que a derivada de (x^2+1) - x^2(x^2+1)^3/2 = 1(x^2+1)^3/2 é exatamente a nossa função integranda.

Passo 5

Com essa observação, podemos concluir que a integral de 1(x^2+1)^3/2 é simplesmente xraizx^2+1 mais a constante de integração C.

Resposta

A integral indefinida é:
integral dx(x^2+1)^3/2 = xraizx^2+1 + C

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