Calcule a integral indefinida.
Passo 1
Beleza, então a gente tem que calcular a integral indefinida de
em relação a
. Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo expressões com poderes de polinômios no denominador. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica de substituição que simplifique a expressão para que possamos integrar mais facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir para facilitar a integração. Observando
, vemos que
está elevado a uma potência. Uma boa estratégia é fazer uma substituição que envolva essa parte. Vamos chamar
, o que parece simples, mas na verdade precisamos de uma substituição diferente.
Passo 3
Vamos tentar uma substituição que envolva a expressão no denominador. Vamos definir
. Então, a derivada de
em relação a
é
. Isso parece não simplificar muito a integral, então precisamos tentar outra abordagem.
Passo 4
Uma técnica mais eficaz aqui é reconhecer que a derivada de
nos dá algo parecido com a nossa função a ser integrada. Vamos lembrar que:
Simplificando essa expressão, obtemos:
Isso mostra que a derivada de
é exatamente a nossa função integranda.
Passo 5
Com essa observação, podemos concluir que a integral de
é simplesmente
mais a constante de integração
.
Resposta
A integral indefinida é: