Calcule a integral definida.
integral0^2 d xx^2-2 x-3

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida integral0^2 dxx^2-2x-3. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 2x - 3. Procuramos dois números que multiplicados dão -3 e somados dão -2. Esses números são -3 e 1. Então:
x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)

Passo 3

Agora que fatoramos o denominador, vamos escrever a fração 1(x - 3)(x + 1) como soma de frações parciais. Vamos supor que:
1(x - 3)(x + 1) = Ax - 3 + Bx + 1
Multiplicando ambos os lados por (x - 3)(x + 1), temos:
1 = A(x + 1) + B(x - 3)

Passo 4

Para encontrar os valores de A e B, escolhemos valores de x que simplificam a equação.
Primeiro, com x = 3:
1 = A(3 + 1) + B(3 - 3) Rightarrow 1 = 4A Rightarrow A = 14
Segundo, com x = -1:
1 = A(-1 + 1) + B(-1 - 3) Rightarrow 1 = -4B Rightarrow B = -14

Passo 5

Agora, substituímos A e B na expressão das frações parciais:
1(x - 3)(x + 1) = 14 cdot 1x - 3 - 14 cdot 1x + 1

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
integral dxx^2 - 2x - 3 = 14 integral dxx - 3 - 14 integral dxx + 1
Sabemos que integral dxx - a = ln|x - a| + C, então:
= 14 ln|x - 3| - 14 ln|x + 1| + C

Passo 7

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 2:
[ 14 ln|2 - 3| - 14 ln|2 + 1| ] - [ 14 ln|0 - 3| - 14 ln|0 + 1| ]
Simplificando:
= 14 ln(1) - 14 ln(3) - ( 14 ln(3) - 14 ln(1) )
Como ln(1) = 0:
= -14 ln(3) - 14 ln(3) = -12 ln(3)

Resposta

-12 ln(3)

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