Calcule a integral definida.
Passo 1
Beleza, vamos calcular a integral definida
. Esse exercício está relacionado ao cálculo de integrais de funções racionais. Para resolver, vamos precisar fatorar o denominador e usar frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
. Então:
Passo 3
Agora que fatoramos o denominador, vamos escrever a fração
como soma de frações parciais. Vamos supor que:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Passo 4
Para encontrar os valores de
e
, escolhemos valores de
que simplificam a equação.
Primeiro, com
:
Segundo, com
:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na expressão das frações parciais:
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 2:
Simplificando:
Como
: