Determine se a integral converge ou diverge.
integral0^infty d xraizx(1+x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a integral integral0^infty dxraizx(1+x) converge ou diverge. Isso faz parte do estudo de integrais impróprias, especificamente analisando se o valor da integral é finito ou não. Para resolver isso, vamos usar testes de comparação e entender o comportamento da função integranda nos limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a integral integral0^infty dxraizx(1+x). Notamos que ela vai de 0 até o infinito, então precisamos verificar o comportamento da função 1raizx(1+x) quando x se aproxima de 0 e quando x se aproxima de infinito.

Passo 3

Vamos começar olhando para x to 0. Quando x é próximo de 0, o termo 1+x é aproximadamente 1, então a função se aproxima de 1raizx. Sabemos que a integral integral0^1 dxraizx converge, já que integral dxx^1/2 = 2raizx, que é finita quando avaliada de 0 a 1.

Passo 4

Agora, vamos analisar quando x to infty. Nesse caso, o termo 1+x é aproximadamente x, então a função se comporta como 1raizx cdot x = 1x^3/2. A integral integral1^infty dxx^3/2 também converge, já que a potência 3/2 é maior que 1.

Passo 5

Como a função 1raizx(1+x) se comporta de maneira semelhante a funções que conhecemos que convergem nos dois extremos do intervalo de integração, podemos concluir pelo teste de comparação que a integral original também converge.

Resposta

A integral integral0^infty dxraizx(1+x) converge.

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