Determine se a integral converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a integral
converge ou diverge. Isso faz parte do estudo de integrais impróprias, especificamente analisando se o valor da integral é finito ou não. Para resolver isso, vamos usar testes de comparação e entender o comportamento da função integranda nos limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a integral
. Notamos que ela vai de 0 até o infinito, então precisamos verificar o comportamento da função
quando
se aproxima de 0 e quando
se aproxima de infinito.
Passo 3
Vamos começar olhando para
. Quando
é próximo de 0, o termo
é aproximadamente 1, então a função se aproxima de
. Sabemos que a integral
converge, já que
, que é finita quando avaliada de 0 a 1.
Passo 4
Agora, vamos analisar quando
. Nesse caso, o termo
é aproximadamente
, então a função se comporta como
. A integral
também converge, já que a potência
é maior que 1.
Passo 5
Como a função
se comporta de maneira semelhante a funções que conhecemos que convergem nos dois extremos do intervalo de integração, podemos concluir pelo teste de comparação que a integral original também converge.
Resposta
A integral
converge.