Determine a área da região delimitada pelas seguintes curvas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de encontrar a área delimitada pelas curvas $ y = e^{x} $, $ y = e^{-x} $ e $ x = 1 $. Vamos usar um pouco de cálculo, mais especificamente a integração, para descobrir essa área. Precisaremos entender como essas curvas se comportam e onde elas se cruzam para definir os limites da nossa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde as curvas $ y = e^{x} $ e $ y = e^{-x} $ se interceptam. Para isso, igualamos as duas expressões:
Passo 3
Para resolver $ e^{x} = e^{-x} $, podemos dividir ambos os lados por $ e^{x} $:
Agora, tiramos o logaritmo natural de ambos os lados:
Então, as curvas se cruzam quando $ x = 0 $.
Passo 4
Sabemos que no ponto $ x = 0 $, $ y = e^{0} = 1 $. Agora, queremos encontrar a área entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $, pois $ x = 1 $ é outro limite dado no problema.
Passo 5
Observando as curvas entre $ x = 0 $ e $ x = 1 $:
- Para $ 0 \leq x \leq 1 $, $ e^{x} $ está acima de $ e^{-x} $ porque $ e^{x} $ cresce exponencialmente, enquanto $ e^{-x} $ decresce.
Portanto, a área entre essas curvas de $ x = 0 $ a $ x = 1 $ pode ser encontrada integrando a diferença entre as duas funções:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Aqui, $ C $ é a constante de integração, que não precisamos para calcular a área definida.
Passo 7
Agora, aplicamos os limites de integração de $ 0 $ a $ 1 $:
Sabemos que $ e^{0} = 1 $, então:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é $ e + \frac{1}{e} - 2 $, aproximadamente igual a 1,086 unidades de área.