Determine se a integral converge ou diverge. Se convergir, calcule seu valor.
integral0^1 d xraizx(1+x)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente precisa verificar se a integral integral0^1 dxraizx(1+x) converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai calcular o valor dela. Pra isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da função dentro da integral nos limites de integração, ou seja, quando x se aproxima de 0 e de 1.
  • Quando x to 0:
    A expressão raizx é igual a x^1/2, então o denominador fica raizx(1+x) approx raizx porque x é muito pequeno comparado a 1. Assim, a função dentro da integral se comporta como 1raizx.
  • Quando x to 1:
    O denominador raizx(1+x) é contínuo e não apresenta problemas, então não precisamos nos preocupar com divergências nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos verificar a convergência da integral perto de 0. A integral integral0^1 dxraizx é uma integral conhecida que converge, já que a integral de x^-1/2 de 0 a 1 é finita:
integral0^1 x^-1/2 dx = 2 raizx |0^1 = 2(1) - 2(0) = 2
Como a nossa função original se comporta como 1raizx perto de 0 e essa integral converge, podemos concluir que a integral dada também converge.

Passo 4

Agora que sabemos que a integral converge, vamos calcular o valor dela. Vamos usar uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar x = t^2. Assim:
x = t^2 Rightarrow dx = 2t , dt
Substituindo na integral:
integral0^1 dxraizx(1+x) = integral0^1 2t , dtt(1 + t^2) = 2 integral0^1 dt1 + t^2
Simplificamos t no numerador e denominador.

Passo 5

A integral integral dt1 + t^2 é uma forma padrão que sabemos resolver:
integral dt1 + t^2 = arctan(t) + C
Portanto:
2 integral0^1 dt1 + t^2 = 2 [ arctan(t) ]0^1 = 2 ( arctan(1) - arctan(0) )

Passo 6

Sabemos que arctan(1) = pi4 e arctan(0) = 0. Então:
2 ( pi4 - 0 ) = pi2

Resposta

A integral converge e seu valor é pi2.

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