Determine se a integral converge ou diverge. Se convergir, calcule seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente precisa verificar se a integral converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai calcular o valor dela. Pra isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias e técnicas de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da função dentro da integral nos limites de integração, ou seja, quando se aproxima de 0 e de 1.
Quando :
A expressão é igual a , então o denominador fica porque é muito pequeno comparado a 1. Assim, a função dentro da integral se comporta como .
Quando :
O denominador é contínuo e não apresenta problemas, então não precisamos nos preocupar com divergências nesse ponto.
Passo 3
Agora, vamos verificar a convergência da integral perto de 0. A integral é uma integral conhecida que converge, já que a integral de de 0 a 1 é finita:
Como a nossa função original se comporta como 1raizx perto de 0 e essa integral converge, podemos concluir que a integral dada também converge.
Passo 4
Agora que sabemos que a integral converge, vamos calcular o valor dela. Vamos usar uma substituição para simplificar a integral. Vamos deixar x = t^2. Assim: