Calcule a integral definida ou mostre que ela diverge.
integral1^infty d xx^3+x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida que vai de 1 até o infinito: integral1^infty dxx^3+x. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, mais especificamente integrais impróprias por causa do limite infinito. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a função dentro da integral e aplicar técnicas de integração, como frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração: x^3 + x. Podemos fatorar esse polinômio para simplificar a expressão. Fatorando x, temos:
x^3 + x = x(x^2 + 1)
Então, a integral fica:
integral1^infty dxx(x^2 + 1)

Passo 3

Agora, para integrar essa função, vamos usar o método de frações parciais. Isso ajuda a dividir a fração em partes mais simples que são fáceis de integrar. Queremos escrever:
1x(x^2 + 1) = Ax + Bx + Cx^2 + 1
Multiplicando ambos os lados por x(x^2 + 1) para eliminar os denominadores:
1 = A(x^2 + 1) + (Bx + C)x
Simplificando:
1 = A x^2 + A + B x^2 + C x
Agrupando os termos semelhantes:
1 = (A + B)x^2 + Cx + A

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
  • Para x^2: A + B = 0
  • Para x: C = 0
  • Termo constante: A = 1
Resolvendo essas equações:
  • De A = 1, já temos A = 1.
  • De A + B = 0 e sabendo que A = 1, temos 1 + B = 0, então B = -1.
  • Já sabemos que C = 0.
Então, nossa fração parcial fica:
1x(x^2 + 1) = 1x - xx^2 + 1

Passo 5

Agora, vamos reescrever a integral usando as frações parciais que encontramos:
integral1^infty ( 1x - xx^2 + 1 ) dx
Vamos separar a integral em duas partes:
integral1^infty 1x dx - integral1^infty xx^2 + 1 dx

Passo 6

Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
integral 1x dx = ln|x| + C
Segunda integral:
Fazemos uma substituição simples:
Deixe u = x^2 + 1, então du = 2x dx, ou seja, du2 = x dx.
Portanto,
integral xx^2 + 1 dx = 12 integral duu = 12 ln|u| + C = 12 ln(x^2 + 1) + C

Passo 7

Agora, substituímos de volta nas integrais definidas:
[ ln|x| ]1^infty - [ 12 ln(x^2 + 1) ]1^infty
Vamos avaliar cada parte no limite quando x tende ao infinito e no ponto 1.
Para a primeira parte:
limb to infty ln b - ln 1 = limb to infty ln b - 0 = infty
Para a segunda parte:
limb to infty 12 ln(b^2 + 1) - 12 ln(1^2 + 1) = limb to infty 12 ln(b^2 + 1) - 12 ln 2
À medida que b cresce, ln(b^2 + 1) também cresce sem limites.

Passo 8

Juntando tudo:
infty - infty
Nesse caso, ambas as partes tendem ao infinito, mas precisamos ver qual cresce mais rápido. Note que ln(b^2 + 1) approx 2ln b, então:
infty - 12(2 ln b) = infty - ln b
Como ln b também tende ao infinito, mas mais lentamente, o resultado final ainda é infinito.

Resposta

A integral integral1^infty dxx^3+x diverge.

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