Calcule a integral definida ou mostre que ela diverge.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral definida que vai de 1 até o infinito:
. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, mais especificamente integrais impróprias por causa do limite infinito. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar a função dentro da integral e aplicar técnicas de integração, como frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador da fração:
. Podemos fatorar esse polinômio para simplificar a expressão. Fatorando
, temos:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, para integrar essa função, vamos usar o método de frações parciais. Isso ajuda a dividir a fração em partes mais simples que são fáceis de integrar. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
- Para
: - Para
: - Termo constante:
Resolvendo essas equações:
- De
, já temos . - De
e sabendo que , temos , então . - Já sabemos que
.
Então, nossa fração parcial fica:
Passo 5
Agora, vamos reescrever a integral usando as frações parciais que encontramos:
Vamos separar a integral em duas partes:
Passo 6
Vamos resolver cada integral separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Fazemos uma substituição simples:
Deixe , então
, ou seja,
.
Deixe
Portanto,
Passo 7
Agora, substituímos de volta nas integrais definidas:
Vamos avaliar cada parte no limite quando
tende ao infinito e no ponto 1.
Para a primeira parte:
Para a segunda parte:
À medida que
cresce,
também cresce sem limites.
Passo 8
Juntando tudo:
Nesse caso, ambas as partes tendem ao infinito, mas precisamos ver qual cresce mais rápido. Note que
, então:
Como
também tende ao infinito, mas mais lentamente, o resultado final ainda é infinito.
Resposta
A integral
diverge.