Calcule a integral definida.
integral0^pi / 2 tan ^2(x / 2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: integral0^pi / 2 tan^2(x2) , dx. A gente está lidando com cálculo integral, especificamente com funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar usar identidades trigonométricas e técnicas de substituição para simplificar a integral e encontrar o valor final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que tan^2(u) pode ser expressa usando a identidade trigonométrica:
tan^2(u) = sec^2(u) - 1
Isso vai nos ajudar a simplificar a integral.

Passo 3

Vamos aplicar essa identidade na nossa integral. Substituindo u = x2, temos:
integral0^pi / 2 tan^2(x2) , dx = integral0^pi / 2 ( sec^2(x2) - 1 ) , dx

Passo 4

Agora, separamos a integral em duas partes:
integral0^pi / 2 sec^2(x2) , dx - integral0^pi / 2 1 , dx
A primeira parte envolve a integral de sec^2(u), que sabemos que é tan(u). A segunda parte é simplesmente a integral de 1 em relação a x, que é x.

Passo 5

Calculando cada parte:
  1. Para integral sec^2(x2) , dx, fazemos uma substituição: u = x2 Rightarrow du = 12 dx Rightarrow dx = 2 du Então, a integral fica: 2 integral sec^2(u) , du = 2 tan(u) + C = 2 tan(x2) + C
  2. Para integral 1 , dx, simplesmente: x + C

Passo 6

Voltando aos limites de integração, aplicamos os limites à primeira parte:
2 tan(x2) |0^pi / 2 - ( x |0^pi / 2 )
Calculando cada termo:
  1. 2 tan(pi4) - 2 tan(0) = 2 times 1 - 0 = 2
  2. pi2 - 0 = pi2

Passo 7

Subtraindo os resultados:
2 - pi2

Resposta

O valor da integral definida é 2 - pi2.

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