Determine se a integral converge ou diverge. Se convergir, calcule seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a integral
converge ou diverge. Se ela convergir, temos que calcular seu valor. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias, já que a função
pode ter comportamentos complicados em certos pontos do intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando:
. Lembra que
. Sabemos que o cosseno de
é igual a zero quando
. Isso significa que, no limite quando
se aproxima de
,
tende ao infinito. Por isso, a integral pode ser imprópria no limite superior.
Passo 3
Para analisar a convergência da integral, vamos reescrevê-la como limite:
Agora, vamos encontrar a antiderivada de
. Lembra que:
Então, aplicando os limites de integração, temos:
Passo 4
Vamos calcular cada parte:
-
e , então . - Conforme
se aproxima de , se aproxima de 0, fazendo com que e tendam ao infinito. Assim, também tende ao infinito.
Passo 5
Portanto, a expressão fica:
Isso significa que a integral não converge, ou seja, ela diverge.
Resposta
A integral
diverge.