Determine se a integral converge ou diverge. Se convergir, calcule seu valor.
integral0^pi / 2 sec x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar se a integral integral0^pi / 2 sec x , dx converge ou diverge. Se ela convergir, temos que calcular seu valor. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente sobre integrais impróprias, já que a função sec x pode ter comportamentos complicados em certos pontos do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que estamos integrando: sec x. Lembra que sec x = 1cos x. Sabemos que o cosseno de x é igual a zero quando x = pi2. Isso significa que, no limite quando x se aproxima de pi2, sec x tende ao infinito. Por isso, a integral pode ser imprópria no limite superior.

Passo 3

Para analisar a convergência da integral, vamos reescrevê-la como limite:
integral0^pi / 2 sec x , dx = limb to pi2^- integral0^b sec x , dx
Agora, vamos encontrar a antiderivada de sec x. Lembra que:
integral sec x , dx = ln |sec x + tan x| + C
Então, aplicando os limites de integração, temos:
limb to pi2^- [ ln |sec b + tan b| - ln |sec 0 + tan 0| ]

Passo 4

Vamos calcular cada parte:
  • sec 0 = 1 e tan 0 = 0, então ln |sec 0 + tan 0| = ln 1 = 0.
  • Conforme b se aproxima de pi2, cos b se aproxima de 0, fazendo com que sec b = 1cos b e tan b = sin bcos b tendam ao infinito. Assim, ln |sec b + tan b| também tende ao infinito.

Passo 5

Portanto, a expressão fica:
limb to pi2^- [ ln |sec b + tan b| - 0 ] = infty
Isso significa que a integral não converge, ou seja, ela diverge.

Resposta

A integral integral0^pi / 2 sec x , dx diverge.

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