Calcule a integral definida ou mostre que ela diverge.
integral-infty^0 x e^-x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa calcular a integral definida de $ x e^{-x} $ de $ -\infty $ até 0. O conteúdo aqui envolve técnicas de integração, especificamente a integração por partes. Vamos precisar entender como aplicar essa técnica para resolver a integral e depois verificar se ela converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica usada quando temos o produto de duas funções que são fáceis de derivar e integrar. A fórmula é:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Onde $ u $ é uma função que a gente escolhe para derivar, e $ dv $ é o restante que a gente integra.

Passo 3

No nosso caso, vamos escolher:
u = x e dv = e^-x dx
Agora, vamos derivar $ u $ e integrar $ dv $:
u

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x e^-x dx = u , v - integral v , du = -x e^-x - integral (-e^-x) dx
Simplificando:
= -x e^-x + integral e^-x dx = -x e^-x - e^-x + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral definida de $ -\infty $ até 0:
-infty
Calculando nos limites:
integral-infty^0 x e^-x dx = [ -x e^-x - e^-x ]-infty^0
Simplificando:
= ( -0 cdot e^0 - e^0 ) - ( -a e^-a - e^-a ) onde a to -infty
Quando $ a \to -\infty $:
= (-1) - ( -a e^-a - e^-a ) = -1 + a e^-a + e^-a
Então:
a to -infty é
Analisando melhor $ a e^{-a} + e^{-a} = e^{-a}(a + 1) $:
Como $ a \to -\infty $, $ a + 1 \to -\infty $, então:
e^-a = e^+infty to +infty e a e^-a = (-infty) cdot (+infty) to -infty
Portanto, o limite da integral é:
-1 + (-infty) + (+infty) é uma forma indeterminada

Resposta

A integral $ \int_{-\infty}^{0} x e^{-x} dx $ diverge, ou seja, ela não converge para um valor finito.

Exercícios relacionados