Calcule a integral definida ou mostre que ela diverge.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo integral! A gente precisa calcular a integral definida de $ x e^{-x} $ de $ -\infty $ até 0. O conteúdo aqui envolve técnicas de integração, especificamente a integração por partes. Vamos precisar entender como aplicar essa técnica para resolver a integral e depois verificar se ela converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é integração por partes. É uma técnica usada quando temos o produto de duas funções que são fáceis de derivar e integrar. A fórmula é:
Onde $ u $ é uma função que a gente escolhe para derivar, e $ dv $ é o restante que a gente integra.
Passo 3
No nosso caso, vamos escolher:
Agora, vamos derivar $ u $ e integrar $ dv $:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral definida de $ -\infty $ até 0:
Calculando nos limites:
Simplificando:
Quando $ a \to -\infty $:
Então:
Analisando melhor $ a e^{-a} + e^{-a} = e^{-a}(a + 1) $:
Como $ a \to -\infty $, $ a + 1 \to -\infty $, então:
Portanto, o limite da integral é:
Resposta
A integral $ \int_{-\infty}^{0} x e^{-x} dx $ diverge, ou seja, ela não converge para um valor finito.