Calcule a integral indefinida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral indefinida juntos! O problema é calcular:
Aqui, estamos lidando com funções racionais, ou seja, o quociente de dois polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais e algumas técnicas de integração básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador. Observamos que:
Então, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, para facilitar a integração, vamos dividir o numerador pelo denominador usando frações parciais. Queremos expressar a fração como:
Onde $ A, B, C $ e $ D $ são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados da equação acima por
para eliminar os denominadores, temos:
Vamos expandir o lado direito:
Então, a equação fica:
Passo 5
Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
- Para
: $ A = 1 $ - Para
: $ B = -2 $ - Para
: $ A + C = 1 $ $ C = 0 $ - Para o termo constante: $ B + D = 1 $
$ D = 3 $
Então, encontramos que $ A = 1 $, $ B = -2 $, $ C = 0 $ e $ D = 3 $.
Passo 6
Substituindo esses valores de volta na decomposição das frações parciais, temos:
Agora, nossa integral fica dividida em duas partes mais simples:
Passo 7
Vamos resolver a primeira integral:
Para
, fazemos a substituição
, então
, ou seja,
. A integral fica:
Para
, sabemos que a integral é:
Então, a primeira parte da integral resulta em:
Passo 8
Agora, vamos resolver a segunda integral:
Para essa, usamos uma fórmula padrão de integração:
Multiplicando por 3, temos:
Passo 9
Agora, juntando as duas partes que integramos, temos:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Vamos simplificar os termos de
:
Resposta
Portanto, a integral indefinida é: