Calcule a integral indefinida.
integral x^3-2 x^2+x+1x^4+2 x^2+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral indefinida juntos! O problema é calcular:
integral x^3 - 2x^2 + x + 1x^4 + 2x^2 + 1 , dx
Aqui, estamos lidando com funções racionais, ou seja, o quociente de dois polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar frações parciais e algumas técnicas de integração básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador. Observamos que:
x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2 + 1)^2
Então, nossa integral fica:
integral x^3 - 2x^2 + x + 1(x^2 + 1)^2 , dx

Passo 3

Agora, para facilitar a integração, vamos dividir o numerador pelo denominador usando frações parciais. Queremos expressar a fração como:
x^3 - 2x^2 + x + 1(x^2 + 1)^2 = Ax + Bx^2 + 1 + Cx + D(x^2 + 1)^2
Onde $ A, B, C $ e $ D $ são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados da equação acima por (x^2 + 1)^2 para eliminar os denominadores, temos:
x^3 - 2x^2 + x + 1 = (Ax + B)(x^2 + 1) + (Cx + D)
Vamos expandir o lado direito:
(Ax + B)(x^2 + 1) = Ax^3 + Ax + Bx^2 + B
Então, a equação fica:
x^3 - 2x^2 + x + 1 = Ax^3 + Bx^2 + (A + C)x + (B + D)

Passo 5

Agora, vamos igualar os coeficientes dos termos correspondentes de ambos os lados da equação:
  • Para x^3: $ A = 1 $
  • Para A = 1 : $ B = -2 $
  • Para x^2: $ A + C = 1 $ B = -2 $ C = 0 $
  • Para o termo constante: $ B + D = 1 $ x $ D = 3 $
Então, encontramos que $ A = 1 $, $ B = -2 $, $ C = 0 $ e $ D = 3 $.

Passo 6

Substituindo esses valores de volta na decomposição das frações parciais, temos:
x^3 - 2x^2 + x + 1(x^2 + 1)^2 = x - 2x^2 + 1 + 3(x^2 + 1)^2
Agora, nossa integral fica dividida em duas partes mais simples:
integral x - 2x^2 + 1 , dx + integral 3(x^2 + 1)^2 , dx

Passo 7

Vamos resolver a primeira integral:
integral xx^2 + 1 , dx - 2 integral 1x^2 + 1 , dx
Para integral xx^2 + 1 , dx, fazemos a substituição u = x^2 + 1, então du = 2x , dx, ou seja, du2 = x , dx. A integral fica:
12 ln|x^2 + 1|
Para integral 1x^2 + 1 , dx, sabemos que a integral é:
arctan x
Então, a primeira parte da integral resulta em:
12 ln(x^2 + 1) - 2 arctan x

Passo 8

Agora, vamos resolver a segunda integral:
3 integral 1(x^2 + 1)^2 , dx
Para essa, usamos uma fórmula padrão de integração:
integral 1(x^2 + 1)^2 , dx = x2(x^2 + 1) + 12 arctan x
Multiplicando por 3, temos:
3x2(x^2 + 1) + 32 arctan x

Passo 9

Agora, juntando as duas partes que integramos, temos:
12 ln(x^2 + 1) - 2 arctan x + 3x2(x^2 + 1) + 32 arctan x + C
Onde $ C $ é a constante de integração.
Vamos simplificar os termos de C :
arctan x

Resposta

Portanto, a integral indefinida é:
12 ln(x^2 + 1) + 3x2(x^2 + 1) - 12 arctan x + C

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