Calcule a integral definida ou mostre que ela diverge.
Passo 1
Vamos resolver a integral definida
. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma função racional, especificamente um polinômio no denominador. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado no denominador e usar uma fórmula conhecida de integração para funções desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos completar o quadrado do polinômio no denominador
. Completar o quadrado ajuda a simplificar a expressão e facilita a aplicação da fórmula de integração.
Para completar o quadrado:
Então, a integral fica:
Passo 3
Agora, reconhecemos que a integral está na forma padrão:
onde
e
.
Vamos fazer a substituição
, então
.
Aplicando a fórmula:
Passo 4
Agora, vamos avaliar a integral definida de 1 a infinito:
Vamos calcular os limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
A integral definida
converge e seu valor é
.