Calcule a integral definida ou mostre que ela diverge.
integral1^infty d xx^2+2 x+5

Passo 1

Vamos resolver a integral definida integral1^infty dxx^2 + 2x + 5. Aqui, estamos lidando com uma integral que envolve uma função racional, especificamente um polinômio no denominador. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado no denominador e usar uma fórmula conhecida de integração para funções desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado do polinômio no denominador x^2 + 2x + 5. Completar o quadrado ajuda a simplificar a expressão e facilita a aplicação da fórmula de integração.
Para completar o quadrado:
x^2 + 2x + 5 = (x^2 + 2x + 1) + 4 = (x + 1)^2 + 4
Então, a integral fica:
integral1^infty dx(x + 1)^2 + 4

Passo 3

Agora, reconhecemos que a integral está na forma padrão:
integral duu^2 + a^2 = 1a arctan(ua) + C
onde a = 2 e u = x + 1.
Vamos fazer a substituição u = x + 1, então du = dx.
Aplicando a fórmula:
integral dx(x + 1)^2 + 4 = 12 arctan(x + 12) + C

Passo 4

Agora, vamos avaliar a integral definida de 1 a infinito:
integral1^infty dxx^2 + 2x + 5 = [ 12 arctan(x + 12) ]1^infty
Vamos calcular os limites:
Para x to infty:
arctan(infty + 12) = arctan(infty) = pi2
Para x = 1:
arctan(1 + 12) = arctan(1) = pi4
Subtraindo:
12 ( pi2 - pi4 ) = 12 ( pi4 ) = pi8

Resposta

A integral definida integral1^infty dxx^2 + 2x + 5 converge e seu valor é pi8.

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