Calcule a integral definida.
integral0^pi / 4 tan ^4 x sec ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral definida: integral0^pi / 4 tan^4 x sec^2 x , dx. A matéria envolvida aqui é o Cálculo Integral, especificamente a técnica de substituição. Para resolver isso, vamos precisar entender como usar substituição para simplificar integrais que envolvem funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em uma substituição que simplifique a integral. Observando a expressão tan^4 x sec^2 x, percebemos que a derivada de tan x é sec^2 x, o que é exatamente presente na integral. Então, vamos definir:
u = tan x
Agora, vamos calcular a derivada de u em relação a x:
dudx = sec^2 x Rightarrow du = sec^2 x , dx
Isso significa que sec^2 x , dx pode ser substituído por du.

Passo 3

Substituindo u = tan x e du = sec^2 x , dx na integral original, temos:
integral0^pi / 4 tan^4 x sec^2 x , dx = integralu(0)^u(pi / 4) u^4 , du
Agora, precisamos ajustar os limites de integração. Quando x = 0:
u(0) = tan(0) = 0
E quando x = pi / 4:
u(pi4) = tan(pi4) = 1
Então, a integral fica:
integral0^1 u^4 , du

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de u^4 em relação a u:
integral u^4 , du = u^55 + C
Como é uma integral definida, aplicamos os limites de 0 a 1:
[u^55]0^1 = 1^55 - 0^55 = 15 - 0 = 15

Resposta

O valor da integral definida é 15.

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