Calcule a integral definida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular uma integral definida:
. A matéria envolvida aqui é o Cálculo Integral, especificamente a técnica de substituição. Para resolver isso, vamos precisar entender como usar substituição para simplificar integrais que envolvem funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar em uma substituição que simplifique a integral. Observando a expressão
, percebemos que a derivada de
é
, o que é exatamente presente na integral. Então, vamos definir:
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Isso significa que
pode ser substituído por
.
Passo 3
Substituindo
e
na integral original, temos:
Agora, precisamos ajustar os limites de integração. Quando
:
E quando
:
Então, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de
em relação a
:
Como é uma integral definida, aplicamos os limites de 0 a 1:
Resposta
O valor da integral definida é
.