Determine se a integral converge ou diverge. Se convergir, calcule seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a integral
converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai calcular o valor dela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias e substituições para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que tá acontecendo aqui. A integral tem limites de
até o infinito, o que significa que é uma integral imprópria porque o limite de integração é infinito. Além disso, a função dentro da integral envolve o logaritmo natural (
). Para facilitar, vamos fazer uma substituição que simplifique essa expressão.
Passo 3
Vamos escolher uma substituição inteligente. Vamos deixar
. Isso porque $ \ln x $ aparece no denominador e queremos simplificar a expressão. Agora, precisamos derivar essa substituição para encontrar
em termos de
.
Passo 4
Derivando ambos os lados em relação a
, temos:
Isso significa que:
Mas como
, então
. Então podemos substituir
por
na expressão de
:
Passo 5
Agora, vamos substituir tudo isso na integral original:
Note que $ \ln e = 1 $ e $ \ln \infty = \infty $, então a integral fica:
Passo 6
Agora, a integral ficou bem mais simples: $ \int_{1}^{\infty} t^{-3} dt $. Para resolver isso, vamos integrar $ t^{-3} $:
Como estamos lidando com uma integral definida, vamos avaliar isso de 1 até o infinito.
Passo 7
Aplicando os limites:
O primeiro termo vai para 0 porque $ t^{2} $ cresce muito e o termo inteiro desaparece. Então:
Resposta
A integral
converge e o seu valor é
.