Determine se a integral converge ou diverge. Se convergir, calcule seu valor.
integrale^infty d xx(ln x)^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar se a integral integrale^infty dxx(ln x)^3 converge ou diverge. Se ela convergir, a gente também vai calcular o valor dela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias e substituições para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que tá acontecendo aqui. A integral tem limites de e até o infinito, o que significa que é uma integral imprópria porque o limite de integração é infinito. Além disso, a função dentro da integral envolve o logaritmo natural ( ln x). Para facilitar, vamos fazer uma substituição que simplifique essa expressão.

Passo 3

Vamos escolher uma substituição inteligente. Vamos deixar t = ln x. Isso porque $ \ln x $ aparece no denominador e queremos simplificar a expressão. Agora, precisamos derivar essa substituição para encontrar ln x em termos de dx.

Passo 4

Derivando ambos os lados em relação a x, temos:
dt = 1x dx
Isso significa que:
dx = x , dt
Mas como t = ln x, então x = e^t. Então podemos substituir x por e^t na expressão de dx:
dx = e^t dt

Passo 5

Agora, vamos substituir tudo isso na integral original:
integrale^infty dxx(ln x)^3 = integralt = ln e^t = ln infty e^t dte^t t^3
Note que $ \ln e = 1 $ e $ \ln \infty = \infty $, então a integral fica:
ln e = 1

Passo 6

Agora, a integral ficou bem mais simples: $ \int_{1}^{\infty} t^{-3} dt $. Para resolver isso, vamos integrar $ t^{-3} $:
integral1^infty t^-3 dt
Como estamos lidando com uma integral definida, vamos avaliar isso de 1 até o infinito.

Passo 7

Aplicando os limites:
[ -12 t^2 ]1^infty = ( limt to infty -12 t^2 ) - ( -12 (1)^2 )
O primeiro termo vai para 0 porque $ t^{2} $ cresce muito e o termo inteiro desaparece. Então:
t^2

Resposta

A integral integrale^infty dxx(ln x)^3 converge e o seu valor é 12.

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